محاولة لفهم الرياضيات ( المجموعات و الأعداد السالبة) set theory

بسم الله الرحمن الرحيم

محاولة لفهم الرياضيات ( المجموعات و الأعداد السالبة) set theory

د.عمار شرقية

 

الرياضيات هي (فن) التعبير عن الأفكار البسيطة الواضحة بطرقٍ و رموز مبهمة غير قابلةٍ للفهم…

 

O مفهوم الأعداد السلبية :

هنالك ظواهر فيزيائية لا يمكن دراستها لأنه لا وجود لها من الناحية العملية  فالظلمة لا وجود مادي لها و لذلك لا يمكن دراستها لأن الظلمة هي مجرد غياب الضوء , بينما  الضوء ظاهرة فيزيائية لها وجود و يمكن دراستها , و كذلك الحال بالنسبة للبرودة و الحرارة , حيث يمكن دراسة الحرارة لأنها ظاهرة فيزيائية لها وجود , بينما لا يمكن دراسة البرودة لأن البرودة ليست أكثر من غيابٍ للحرارة , ولذلك فإن عمل أجهزة التبريد يقوم على مبدأ سحب الحرارة من الوسط .

و بشكلٍ مماثلٍ تقريباً فإن العدد الموجب هو الوجود أما العدد السالب فهو انعدام ذلك الوجود , كما أن زيادة العدد السالب تعني زيادةً في النقص – العدد الموجب يشبه ظاهرتي الضوء و الحرارة , أما العدد السالب فإنه يشبه ظاهرتي البرودة و الظلمة , و أبلغ تشبيهٍ للأعداد  السالبة و الموجبة  بالظواهر الفيزيائية هو تشبيه الأعداد الموجبة بدرجات الحرارة التي تقع فوق درجة الصفر و تشبيه الأعداد السالبة بدرجات الحرارة التي تقع تحت درجة الصفر .

 

الأعداد الموجبة هي الأعداد التي تقع فوق الصفر أما الأعداد السالبة فهي التي تقع تحت الصفر .

 

زيادة الأعداد السالبة هي في الحقيقة نقصان فالأعداد السالبة تشبه درجات الحرارة السالبة التي تقع تحت الصفر وهي كذلك تشبه الخسائر و الديون و الضرائب و الغرامات و الفواتير التي يترتب علينا أن ندفعها و لهذا السبب فإن زيادتها ماهي في الحقيقة إلا زيادة في الخسارة و نقصان.

إن زيادة العدد السلبي تدل على المزيد من النقصان و الخسارة.

 

O  ناتج جمع عددين متماثلين و  متعاكسين هو الصفر , أي أن ناتج جمع عددٍ موجب مع نظيره السالب يساوي الصفر .

أمثلة :

44)+(-44)=0+)

700)+(-700)=0+)

67) +(-67)=0+)

O لماذا يكون حاصل جمع عددين متعاكسين صفراً؟

لنفترض بأن شخصاً ما لديه 6000 دولار و أن على هذا الشخص فواتير مستحقة الدفع و ضرائب تبلغ 6000 دولار  . فكم يبلغ رصيد هذا الشخص ؟ إن رصيده هو الصفر .

هنا فإن المال الذي يمتلكه هذا الشخص  هو رقمٌ موجب أي +6000 دولار , أما الفواتير و الضرائب  فإنها تمثل رقماً سالباً أي -6000  دولار.

فإذا جمعنا ما يمتلكه ذلك الشخص مع ما يتوجب عليه أن يدفعه كانت النتيجة صفر لأنه يتوجب عليه أن يدفع كل ما معه أي مبلغ  6000دولار حتى يغطي الفواتير و الضرائب الموجبة الدفع المستحقة عليه و التي تبلغ 6000كذلك.

 

مثال آخر :

سائق سباق رالي  قاد سيارته مسافة  50 km كيلو متر في الاتجاه الخاطئ و  المعاكس للاتجاه الصحيح للسباق  ثم قاد سيارته 50 km كيلو متر أخرى في الاتجاه الصحيح فكم كيلو متراً تقدم هذا السائق في السباق؟

الجواب هو صفر  لأن الخمسين كيلو متراً التي قاد فيها هذا السائق سيارته في الاتجاه الصحيح كانت مجرد تعويض عن الخمسين كيلو متراً التي قاد فيها سيارته في الاتجاه المعاكس .

نعبر عن المسافة التي سار فيها في الاتجاه المعاكس لسير السباق برقمٍ سالب بينما نعبر عن المسافة التي سار فيها بالاتجاه الصحيح برقمٍ موجب  +50 .

-50) +  (+50)=0)

 

مثال :

جهاز كهربائي يولد أثناء عمله  حرارة قدرها  45 درجة مئوية  و تقوم بتبريد هذا الجهاز منظومة تبريد  تقوم بخفض درجة الحرارة  45 درجة مئوية, فما هي درجة حرارة ذلك الجهاز عندما تقوم منظومة التبريد بتبريده ؟ إنها الصفر , حيث نعبر عن درجة حرارة الجهاز  برقمٍ موجب بينما نعبر عن درجة الحرارة التي تقوم منظومة التبريد بخفضها برقمٍ سالب .

(-45) + (+45)=0

قد لا يكون هذا المثال دقيقاً من الناحية الفيزيائية و لكنه يوضح فكرة الأعداد السالبة .

O  تاجر ربح 500دولار كما تكبد خسائر قدرها 500 دولار خلال الفترة الزمنية ذاتها , فكم هو رصيد هذا التاجر؟

رصيد هذا التاجر هو الصفر , و نعبر عن الأرباح برقمٍ موجب بينما نعبر عن الخسائر برقمٍ سالب فنقول:

(-500)+(+500)=0

O صالة درجة حرارتها 20 درجة مئوية تحت الصفر قمنا بتشغيل مكيف هواء فيها يستطيع أن يرفع الحرارة 20 درجة مئوية – كم أصبحت درجة الحرارة دخل تلك الصالة بعد تشغيل هذا المكيف ؟ أصبحت درجة الحرارة  صفر .

نعبر عن درجة حرارة الصالة برقم سالب -20 (ناقص عشرين) أي عشرين درجة مئوية تحت الصفر و نعبر عن استطاعة المكيف برقم موجب +20  .

(+20)+(-20)=0

 

قد لا يكون هذا المثال دقيقاً من الناحية الفيزيائية و لكنه يوضح فكرة الأعداد السالبة

 

 

O إذا شعرت بالأرق الليلة و لم تتمكن من النوم حاول إيجاد أمثلة مماثلة للأمثلة السابقة.

 

Oرأينا سابقاً  كيف تكون نتيجة جمع عدد سالب مع نظيره الموجب هي الصفر لأن نقصان العدد السالب يكون مساوياً تماماً للعدد الموجب فيمتصه بأكمله و لذلك تكون نتيجة عملية الجمع هي الصفر .

 

O

إن  عملية الطرح مثلاً  تقوم على مبدأ الوصول إلى الصفر أولاً و بعد الوصول إلى الصفر فإن الزيادة هي التي تحدد ماهية النتيجة فإذا كانت الزيادة لصالح العدد الموجب كانت النتيجة موجبة و إذا كانت الزيادة لصالح العدد السالب كانت النتيجة موجبة .

مثال :

شخص مل لديه حساب في البنك مقداره 700 دولار  و قد كتب هذا الشخص  شيكات بمبلغ 900 دولار فكم أصبح رصيد هذا الشخص في البنك؟

نقول:

700 ناقص 900 تساوي  ناقص 200

700 – 900 = (-200)

أصبح هذا الشخص مديوناً للبنك بمبلغ 200 دولار  على شكل شيكات بلا رصيد و لذلك فقد عبرنا عن النتيجة برقم سالب هو  ناقص -200  .

بما أن الزيادة عن الصفر كانت عبارة عن نقص لم يغطيه رصيد ذلك الشخص فقد عبرنا عنه برقمٍ سالب.

و بشكل دائم فإن نتيجة طرح عددٍ كبير من عددٍ صغير تكون عدداً سالباً .

 

أنتم بلا شك تعرفون عملية الجمع العمودية التي نقوم بها على الأرقام الكبيرة حيث نضع الأرقام التي نريد جمعها تحت بعضها البعض كما في المثال:

1987

6539  +

8765

الآن لنفترض بأن هذه الأرقام الثلاثة التي وضعناها تحت بعضها البعض هي عملية جمع فإننا نبدأ من العدد السفلي الذي يقع في أقصى الزاوية اليمنى أي العدد 5 و نبدأ بجمعه مع الأعداد التي تقع فوقه أي العددين 9 و7  فنقول بأن حاصل جمع  الأعداد

5+9+7  =  21

و لكننا في عملية الجمع العمودية هذه نثبت عدد الآحاد وهو هنا العدد 1 بينما نقوم بترحيل  عدد العشرات  , وهو هنا العدد 2  , لنجمعه مع خانة العشرات و التي هي الأعداد   8  و 3 و 6  فنقول :

2+8+6+3

هذا العدد الذي نقوم بترحيله إلى الخانة التالية يشبه إلى حدٍ ما النتيجة السلبية فنحن عندما نقول بأن  :

خمسة ناقص تسعة تساوي ناقص أربعة أو أربعة تحت الصفر

5-9=(-4)

فإن النتيجة التي هي ناقص 4  (4-)  تمثل النقص الذي هو دون الصفر حيث أن الصفر يمثل الحد بين الأعداد السالبة و بين الأعداد الموجبة.

 

 

O هل هنالك عددٌ نهائي لا عدد بعده ؟

إن العقل يعجز عن تصور ذلك الأمر لأن ما نعلمه أنه دائماً  هنالك رقمٌ تالي لكل رقم مهما كان ذلك الرقم ضخماً ذلك أنه يمكننا دائماً أن نضيف العدد واحد إلى أي رقم مهما كان ذلك الرقم ضخماً و نحن نعجز عن تصور وجود رقمٍ نهائي لا يمكن أن نضيف إليه العدد واحد.

 

 

O الأعداد الأولية prime number  :

العدد الأولي prime number هو العدد الذي لا يقبل القسمة إلا على نفسه و على العدد  واحد  و الأعداد الأولية  هي أعدادٌ طبيعية natural number  أكبر من الواحد .

يتم إيجاد الأعداد الأولية من خلال طريقة تعرف بطريقة  الرياضي الإغريقي إيراتوسفين  :

خطوات إيجاد الأعداد الأولية :

الخطوة الأولى : نكتب عدداً متسلسلاً من الأعداد الطبيعية دون العدد واحد:

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24

الخطوة الثانية:

نحذف العدد 2 و مضاعفاته  وهي هنا :

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24

فتتبقى لدينا الأعداد :

3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23

الخطوة الثالثة :

نحذف العدد 3 و مضاعفاته  و هي هنا :

3,9,15,21

فتتبقى لدينا الأعداد :

5,7,11,13,17,19,23

الخطوة الرابعة : نحذف العدد 5 و مضاعفاته  وهي هنا :

5

الخطوة الخامسة :  نحذف العدد 7  و مضاعفاته وهي هنا :

7

الآن أين هي الأعداد الأولية ؟

إنها الأعداد التي قمنا بحذفها في بداية كل خطوة , أي أنها الأعداد :

2,3,5,7….

و هكذا  إلى ما لا نهاية  – لاحظ بأن الأعداد 2,3,5,7  و سواها من الأعداد الأولية لا تقبل القسمة إلا على نفسها و على العدد  واحد .

ندعو الأعداد الطبيعية الأكبر من الواحد و التي ليست أعداداً أولية  بالأعداد المركبة  composite number .

تذكر دائماً بأن  العددين  صفر  و واحد  ليسا عددين أوليين و ليسا عددين مركبين.

============================================

 

O تضم الأعداد الطبيعية كلاً من الأعداد الزوجية و الأعداد الفردية .

أي أن :

الأعداد الزوجية + الأعداد الفردية = الأعداد الطبيعية.

و من الناحية المنطقية يمكن القول بأن الأعداد الفردية تشكل نصف الأعداد الطبيعية , بينما تشكل الأعداد الزوجية نصفها الآخر, هل هنالك أي خلل في هذا الكلام؟

نعم إن هذا الكلام يتعارض مع النظريات الرياضية , ذلك أن تلك النظريات تقول بأن الأعداد الطبيعية مكافئة  للأعداد الزوجية .

الأعداد الطبيعية ≈ الأعداد الزوجية

بالرغم من أن الأعداد الزوجية ليست إلا جزءاً من الأعداد الطبيعية , بل إنها لا تشكل إلا نصف الأعداد الطبيعية .

O  تقول النظريات الرياضية بأن جميع المجموعات اللانهائية متساوية , كما تقول تلك النظريات بأن الجزء  اللامتناهي  يساوي أو يكافئ الكل اللامتناهي , بمعنى أن الأعداد الزوجية  لا متناهية  و الأعداد الطبيعية هي كذلك لا متناهية , و الأعداد الزوجية هي جزءٌ من الأعداد الطبيعية و هذا يعني بأن الأعداد الزوجية تساوي أو بكلمةٍ أدق تكافئ الأعداد الطبيعية.

و بما أن الأعداد الزوجية لا متناهية أي بمعنى أننا لا نستطيع أن نحصر عددها , فهل هنالك من يستطيع أن يخبرنا بعدد الأعداد الزوجية أو ما هو أكبر عددٍ زوجي يمكن بلوغه ؟

بالتأكيد لا يمكن ذلك لأنه حتى لو توصلنا إلى رقمٍ بجواره ترليون صفر من الأعداد الزوجية فإنه بإمكاننا أن نضيف العدد واحد إلى ذلك الرقم الذي ظننا بأنه رقمٌ نهائي مرةً أو مرتين حتى نبلغ رقماً زوجياً جديداً .

و بالتالي فإنه لا يجوز أن نقول بأن الأعداد الزوجية أقل من الأعداد الطبيعية حتى و إن كانت جزءاًًًًًًًًً من الأعداد الطبيعية و حتى إن كان المنطق يملي علينا ذلك .

∞ : رمز اللانهائية .

 

O التالي :

يعقب كل عددٍ طبيعي عددٌ أو رقمٌ واحد  ندعوه بالعدد التالي يمكن أن نرمز لهذا العدد التالي بالرمز Ne مثلاً و نعبر عنه بالصيغة التالية :

Ne=n+1

أي أن العدد التالي Ne  لأي عدد هو ذلك العدد + 1 .

O العدد واحد هو أصغر  عددٍ طبيعي إذ لا سابق له من بين الأعداد الطبيعية , كما أنه  لا يأتي بعد أي عددٍ طبيعي .

O إذا كان العددين التاليين  متساويين  فذلك يعني بأن العددين الذين يتلوهما هذين التالين هما متساويين كذلك .

O إذا كان العدد واحد ينتمي إلى مجموعة أعدادٍ ما و لتكن المجموعة   Aو إذا كان   عددٌ ما و ليكن n ينتمي إلى تلك المجموعة  فإن العدد التالي لذلك العدد Ne ينتمي كذلك إلى هذه المجموعة .

1∈A

n∋A⟶n+1∈A

إذا كان العدد واحد ينتمي إلى مجموعة الأعداد  A

و إذا كان  عددٌ ما n ينتمي إلى تلك المجموعة  فإن  تالي ذلك العدد n+1 ينتمي كذلك إلى تلك المجموعة.

 

O إن حاصل عمليتي الجمع و الضرب يجب أن يكون عدداً طبيعياً ولا يمكن إلا أن يكون عدداً طبيعياً , أما حاصل عمليتي الطرح و القسمة فمن الممكن أن يكون عدداً طبيعياً ومن الممكن ان لا يكون كذلك , ذلك أن ناتج عملية الطرح و القسمة يمكن أن يكون عدداًَ سالباً ومن الممكن كذلك أن يكون كسراً .

 

O عملية الجمع عملية تبديلية بمعنى أن ناتج عملية الجمع لا يتغير إذا قلبنا طرفي عملية الجمع :

5+10=15

10+5=15

5+10=10+5

و الصيغة الرياضية لذلك:

Natural numbers ,a+b=b+a  a,b ∈∀

و هذه الصيغة تعني :

أياً يكن العددين  a و b  الذين ينتميان إلى مجموعة الأعداد الطبيعية  , فإن حاصل جمع العدد الأول مع العدد الثاني يساوي حاصل جمع العدد الثاني مع العدد الأول.

O عملية الضرب هي عمليةٌ تبديلية , بمعنى أن ناتج عملية الضرب لا يتغير إذا قلبنا طرفي عملية الضرب :

5×3=15

3×5=15

5×3=3×5

و الصيغة الرياضية لذلك:

∀a,b∈ Natural numbers,a.b=b.a

أياً يكن العددين  a و b  الذين ينتميان إلى مجموعة الأعداد الطبيعية  , فإن حاصل ضرب العدد الأول مع العدد الثاني يساوي حاصل ضرب العدد الثاني مع العدد الأول.

a×b=b×a

∀ = أياً يكن .

 

O العمليات داخل الأقواس :

O إذا كان لدينا ثلاثة أعداد طبيعية  تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية :

A,B,C ∈ Natural numbers

فإن :

A(B+C)=A.B+A.C

A(B+C)=A×B+A×C

عندما نضع عدداً ما قبل قوس فهذا يعني بأننا نضرب ذلك العدد بما هو داخل القوس , أي أننا عندما نقول  A(B+C) فإننا نعني بأننا نضرب A  بما هو داخل القوس .

A(B+C)=A×(B+C)

أي أننا نضرب العنصر A بحاصل جمع  (B+C).

مثال:

 

2(3+4)=2.3+2.4

2(3+4)=2×3+2×4

أي أننا نضرب العدد الموجود خارج القوس أولاً بالعدد الأول الموجود داخل القوس ثم نضربه بالعدد الثاني الموجود ضمن القوس ثم نجمع نتيجة ضرب هذا العدد بهذين العددين.

الآن :

2(3+4)=2×3+4= 2×7=14

2×3+2×4=6+8=14

14=14

 

O   نستفيد من هذه الخاصية بشكلٍ خاص عند القيام بإجراء العمليات الحسابية الذهنية بحيث نضع الأعداد التي من السهل جمعها أو ضربها إلى جوار بعضها البعض لتسهيل عملية الحساب:

مثال:

15+44+5+22=(15+5)+(22+44)=20+66=86

نلاحظ في المثال السابق أننا وجدنا بأن عملية جمع العددين 15 و 5  مع بعضهما البعض و جمع العددين  44  و 22 مع بعضهما البعض هي أكثر سهولة .

 

مثال على عملية الجمع:

6×32=6(30+2)=6×(30+2)=6×30+6×2=180+12=192

 

O الجداء الديكارتي لمجموعتين :

تذكر دائماً :

إذا كانت المجموعة A تتألف من العناصر :

A=(B,C,D)

و إذا كانت المجموعة B تتألف من العناصر :

B=(1,2)

فإن   A×B    يساوي المجموعة التي تتألف من الثنائيات التي ينتمي العنصر الأول فيها إلى المجموعة الأولى A و التي ينتمي العنصر الثاني فيها إلى المجموعة B .

A×B=

(B,1),(B,2),(C,1),(C2),(D,1),(D,2)

إن حاصل الجداء الديكارتي لمجموعتين هو مجموعة تتضمن ثنائيات ينتمي العنصر الأول فيها إلى المجموعة الأولى بينما ينتمي العنصر الثاني فيها إلى المجموعة الثانية.

 

 

O إذا كان مجموع عددين a+b يساوي مجموع عددين آخرين  a+c

a+b=a+c .

و إذا كان هنالك حد في عملية الجمع الأولى  (و هو هنا a ) يساوي حد في عملية الجمع الثانية  ( وهو هنا a  كذلك) .

نحن هنا نعلم بأن  :

a+b=a+c

و نعلم بأن   a=a

إن كل ذلك يعني بأن  الحدين الآخرين في عمليتي الجمع  أي  b  و c  هما متساويين كذلك .

أي أن :

b=c

 

 

إذا كانت  a,b,c  أعداداً طبيعية  و كان:

a+b=a+c

فإن هذا يعني بأن  :  a=c

فإذا كانت لدينا المعادلة  التالية:

N+5=5+M

فهذا يعني بأن  :N=M

و إذا كانت لدينا المعادلة  التالية :

A+3 = B+3⇢A=B

 

⇢ السهم  : فإن هذا يعني بأن

7+Z=E+7⇢Z=E

اكتب المزيد من هذه المعادلات …

 

 

 

 

O الجمع عملية تجميعية :

أياً تكن الأعداد الطبيعية  a,b,c  و التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية :

A,b,c ∈ Natural numbers

فإن :

a+(b+c)=(a+b)+c

5+(10+15)=(5+10)+15

30=30

أي أن نتائج عملية الجمع لا تتغير بتغيير مواقع الأعداد الداخلة في عملية الجمع.

 

O الضرب عملية تجميعية :

أياً تكن الأعداد الطبيعية  a,b,c  و التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية :

A,b,c ∈ Natural numbers

فإن :

a.(b.c)=(a.b).c

A×(B×C)=(A×B)×C

5.(10.15)=(5.10).15

5×(10×15)=(5×10)×15

750=750

أي أن نتائج عملية الضرب  لا تتغير بتغيير مواقع الأعداد الداخلة في عملية الجمع.

 

O إذا كان a,b  عددين طبيعيين و كان  a.b=b.c

أي إذا كان  :

a×b=b×a

فإن  a +b≠b

إذا كان حاصل ضرب العدد الأول مع العدد الثاني يساوي حاصل ضرب العدد الثاني مع العدد الأول فإن حاصل جمع هذين العددين لا يساوي أحدهما , أي أن حاصل جمع هذين العددين يجب أن يكون أكبر منهما منفردين .

 

وهذا الأمر يصح  إذا كان طرفي عملية الضرب عددين طبيعيين  و ليس أحدهما  الصفر لأن الصفر ليس عدداً طبيعياً  و بالطبع إذا كان أحد هذين العددين هو الصفر فإن نتيجة الجمع ستكون مساوية لذلك العدد .

5+0=5

19+0=19

 

ÿ

P  العلاقة التبادلية ⟺ :

إذا كان لدينا مستقيمان متعامدان m,n و كانت لدينا  هاتين الحالتين :

المستقيم m يعامد المستقيم n  :

m⊥n

المستقيم n يعامد المستقيم m :

n⊥m

و إذا دعونا الحالة الأولى بالحالة 1  و الحالة الثانية بالحالة 2 .

فإننا نقول بأن هنالك علاقة تبادلية بين الحالتين 1 و 2 :

1⇔2

إن رمز التبادلية هذا يعني بأن هنالك علاقة تبادلية بين 1 و 2 :

1⇒2

كما أن هنالك علاقةً تبادلية بين 2 و 1 .

2⇒1

ذلك أن المستقيم m  يعامد المستقيم n و المستقيم n يعامد المستقيم m .

⇔ = ⇒ + ⇐

 

 

O إذا كانت لدينا العنصر A يساوي العنصر B .

A=B

و كان (بالطبع) العنصر  B  مساوياً للعنصر  A :

B=A

و إذا دعونا حالة مساواة العنصر A للعنصر  B  بالتسمية Z  و إذا دعونا حالة مساواة العنصر B للعنصر A بالتسمية X فإننا نقول بأن هنالك علاقةٌ تبادلية  بين  X و Z   أي أن :

Z⟺X

على اعتبار أن كلاً من هذين  العنصرين يساوي الآخر.

 

فإننا نقول بأن هنالك علاقة تبادلية بين الحالتين X و Z:

X⇔Z

إن رمز التبادلية هذا يعني بأن هنالك علاقة تبادلية بين Z و X :

Z⇒X

كما أن هنالك علاقةً تبادلية بين X و Z .

X⇒Z

 

⇔ = ⇒ + ⇐

 

O تذكر دائماً :

نشير إلى  العلاقة الأحادية التي تجمع شيئاً مع شيءٍ آخر برمز السهم الأحادي ⇐ , بينما نشير إلى العلاقة التبادلية التي تجمع شيئين مع بعضهما البعض  برمز السهم الثنائي ⇔.

⇔ = ⇒ + ⇐

 

A⇒B

B⇒A

A⇒B∧B⇒A=A⟺B

إذا كانت هنالك علاقة تربط بين A و B و كانت هنالك علاقةٌ مماثلة تربط بين B و A فهذا يعني بأن هنالك علاقة تبادلية ⇔ تربط بين A و B .

∧ = و

 

طارق شقيق نور

طارق ⇐ نور

نور شقيق طارق

نور ⇐ طارق

نور و طارق أشقاء (النتيجة)

نور ⇔ طارق

 

سامر صديق محمد

سامر ⇐ محمد

محمد صديق سامر

محمد ⇐ سامر

(النتيجة)  سامر و محمد أصدقاء :

سامر ⟺محمد

 

الأوكسجين يتفاعل مع الهدروجين

O⇒H

الهدروجين يتفاعل مع الأوكسجين

H⇒O

الأوكسجين و الهيدروجين يتفاعلان مع بعضهما البعض:

H⟺O

 

O الرمز ∃ : يعني  يوجد   THERE EXIST  – Exists.

 

O اكتب أمثلةً مشابهة.

 

 

 

set theoryO  نظرية المجموعات :

 

طريقة اللائحة  لتمثيل المجموعة :

تستخدم طريقة القائمة لتمثيل المجموعة من خلال كتابة عناصر المجموعة ضمن قوسين كبيرين مع القيام بفصل عناصر المجموعة عن بعضها بفاصلة .

{1,2,3,4}

{a,b,c,d}

هذه الطريقة في تمثيل عناصر المجموعة تؤكد بأن جميع العناصر تنتمي إلى المجموعة ولا يوجد بينها دخيل.

 

طريقة اللائحة في تمثيل المجموعات:

مثال :

مجموعة الأعداد الطبيعية:

{1,2,3,4,5,6,…}

طريقة القاعدة في تمثيل المجموعات:

مثال :

مجموعة الأعداد الطبيعية

{  N  التي تحقق الشرط : N عدد طبيعي }

على N أن تحقق شرطاً واحداً وهي أن تكون عدداً طبيعياً.

النقاط الثلاثة …  تعني : إلى آخره.

 

 

النقطتين :  تعنيان (التي تحقق الشرط)

 

الأعداد الزوجية الأصغر من مئة تكتب على الشكل التالي:

{  n  : n – عدد زوجي أصغر من 100 }

أي التي تحقق الشرط  أنها أعداد زوجية أصغر من 100

 

  • تعني  التي

( –  )  تعني التي

 

 

ما هو الاختلاف بين  A   و   {A}؟

الرمز A  لا ينتمي هنا لأية مجموعة  , بينما الرمز {A} يمثل مجموعةً تحوي عنصراً  واحداً هو  العنصر A .

 

في حال لم يكن يوجد أي عنصر في المجموعة  فإننا نعبر عن هذه المجموعة بالرمز   فاي  Ф  أي المجموعة الخالية empty set , null set.

يمكن لعناصر مجموعةٍ ما أن تشكل مجموعاتٍ بدورها , أو لنقل بأنه يمكن لمجموعة ما أن تحوي مجموعاتٍ أخرى داخلها .

هذا مثال يبين كيف يمكن لمجموعةٍ ما أن تتألف بدورها من مجموعاتٍ أخرى:

 

{  {  }, {  } ,{  } ,{  } {  }, {  }, {  } ,{  } ,{  }  }

{  { 1,2}, { 3,4 } ,{ 5,6 } ,{  7,8} { 9,10 }, { 11,12} }

 

كيف نرمز إلى انتماء عنصرٍ ما إلى مجموعة؟

لنفترض بأن لدينا  المجموعة A التي تحوي  أربعة عناصر هي 1,2,3,4

أي أن A = {  1,2,3,4 }

فهذا يعني بأن  1  هو عنصرٌ من المجموعة A

و  2  هو عنصرٌ من المجموعة A

و  3  هو عنصرٌ من المجموعة  A

و  4  هو عنصرٌ من المجموعة A

A = {  1,2,3,4 }

 

϶  =  ينتمي إلى المجموعة

الرمز  ϶ يعني بأن عنصراً ما ينتمي لمجموعةٍ ما .

1  هو عنصرٌ من المجموعة A  1϶ A

 

الرمز ∌  يعني : لا ينتمي

رمز الانتماء نفسه ϶  شطبناه ليدل على أن عنصراً ما لا ينتمي لمجموعةٍ ما.

 

Oالمجموعة الجزئية subset: هي المجموعة التي تقع ضمن مجموعةٍٍ أخرى.

 

O تقاطع مجموعتين:

نعني بهذا المصطلح وجود عناصر مشتركة بين مجموعتين اثنتين .

مثلاً لنفترض بأن لدينا مجموعة من الرجال و مجموعة ثانية من النساء و كان من بين أولئك الرجال رياضيين و كان من بين النساء رياضياتٌ كذلك  , فهؤلاء الأشخاص الرياضيين يمثلون النقطة المشتركة بين هاتين المجموعتين و الذين يمكن أن نصنع منهم مجموعةًً ثالثة جديدة هي مجموعة الرياضيين .

 

O لا يمكن تكرار عنصرٍ واحد في المجموعة أو لنقل بأن المجموعة لا تحوي عناصر متماثلة أو متطابقة مئة بالمئة , يعني لا يمكن أن أقول بأن  المجموعةA مثلاً  تحوي العناصر  1 و 1  و 1  و1    أو أن المجموعة  O  تحوي العناصر  a و a  و a  و a .

مثل شخص كان يتقدم كل عام إلى امتحان الثانوية العامة و ينجح به و بعد مرور عشرين أو 25 عاماً أصبح لديه 25 شهادة ثانوية عامة , الآن لو تقدم هذا الشخص إلى وظيفة ما فإنه سيعامل معاملة من لديه شهادة ثانوية عامة واحدة فقط أي أن الخمسة و عشرين شهادة ستعتبر شهادةً واحدة لا غير .

 

O تذكر دائماً :

إننا ننظر إلى العناصر المتشابهة على أنها عنصرٌ واحد.

بمعنى أن :

A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A=A

B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B=B

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1=1

C,C,C,C,C,C,C,C,C,C,C,C,C,C,C=C

الآن :

هل المجموعتين

{  A ,D,B }  و  {  A,D,A,B }  متطابقتين ؟

نعم إنهما مجموعتين متطابقتين  بالرغم من أن المجموعة الأولى تحوي  ثلاثة عناصر و بالرغم من أن المجموعة الثانية تحوي أربعة عناصر , لماذا؟

لأننا  و فقاً لعلم المجموعات نعتبر بأن  العناصر المتماثلة هي في الحقيقة عنصرٌ واحدٌ  و هذا يعني بأن العنصرين  A,A  في المجموعة الثانية  {  A,D,A,B }  هما في الحقيقة عنصرٌ واحد  و لذلك فإن هذه المجموعة تماثل المجموعة التي تحوي عنصر A واحد .

{  A ,C,B }  =  {  A,D,A,B }

 

Oالمجموعة الجزئية ( المجموعة المحتوات في مجموعةٍ أخرى):

لا توجد مجموعة لا يمكن أن تحوي مجموعةً جزئية بما في ذلك المجموعة الخالية .

كل مجموعة يمكن أن تحوي مجموعةً جزئية بما في ذلك المجموعة الخالية .

 

O المجموعة الخالية  هي مجموعةٌ جزئيةٌ في كل مجموعة.

مثال على المجموعة الجزئية المحتوات في مجموعةٍ أخرى:

لدينا المجموعة M وهي مجموعة أشهر السنة :

}=M,كانون ثاني , شباط, آذار , نيسان, أيار , حزيران, تموز , آب , أيلول, تشرين أول , تشرين ثاني , كانون أول{

لدينا المجموعة S وهي مجموعة أشهر الصيف :

S=}حزيران, تموز , آب {

إن جميع عناصر المجموعة S أي مجموعة أشهر الصيف موجودة في المجموعة M  أي مجموعة أشهر السنة , وهذا يعني بأن  المجموعة S أي مجموعة أشهر الصيف هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة M  أي مجموعة أشهر السنة .

 

يمكننا أن نصنع الكثير من الأمثلة المشابهة  فيمكننا أن نصنع مجموعةً جزئية لأشهر الشتاء و مجموعةً جزئية لأشهر الخريف و مجموعة جزئية لأشهر الربيع و جميع تلك المجموعات هي مجموعاتٌ جزئية في المجموعة الأم M  التي تضم أشهر السنة .

يمكنك أن تفكر في المزيد من الأمثلة المشابهة عن مجموعة أو مجموعاتٍ محتوات في مجموعة أخرى , هنالك مثلاً  مجموعة تلاميذ الصف  التي يمكن أن تتألف من مجموعة الصبيان و مجموعة البنات , وهنالك مجموعة المدرسة التي تتألف من مجموعات الصفوف المختلفة و هكذا , إذا كنت غير قادر على النوم  ابحث في ذهنك عن مجموعاتٍ جزئية توجد ضمن مجموعة كبيرة .

 

ما هو الرمز الرياضي  للمجموعة الجزئية ؟

هذا هو رمز المجموعة الجزئية :

و للتعبير عن أن المجموعة A مثلاً هي مجموعة جزئية من المجموعة B فإننا نقول

B⊇A

فنقول مثلاً بأن مجموعة أشهر الصيف هي مجموعةٌ جزئية من  مجموعة أشهر السنة :

مجموعة أشهر الصيف   مجموعة أشهر السنة .

S⊇M

 

P كل مجموعة هي مجموعةٌ جزئية من نفسها .

المجموعة A هي مجموعة جزئية من نفسها .

A⊇A

المجموعة B هي مجموعةٌ جزئيةٌ من نفسها .

B⊇B

و كل مجموعة يمكن أن نكتبها بهذه الطريقة  حتى المجموعة الخالية  هي مجموعةٌ جزئيةٌ من نفسها :

 

Oو لكن علينا التمييز بين المجموعات التي هي مجموعاتٌ جزئية من نفسها و بين المجموعات الجزئية الحقيقية.

كيف أميز بين المجموعة الجزئية الحقيقية و بين المجموعة التي هي مجموعةٌ جزئية من نفسها؟

إذا كان هنالك في المجموعة عنصرٌ واحدٌ أو أكثر غير موجودٍ في المجموعة الجزئية عندئذً فإن تلك المجموعة الجزئية تكون مجموعةً جزئية حقيقية .

بمعنى :

إذا قارنا بين العناصر الموجودة في المجموعة الجزئية و بين عناصر المجموعة الأم و وجدنا بأن العناصر الموجودة في المجموعة الأم أكثر عدداً فهذا يعني بأن تلك المجموعة الجزئية هي مجموعةٌ جزئية حقيقية.

في أمثلتنا السابقة فإن  مجموعة أشهر الصيف  هي مجموعةٌ جزئية حقيقية من المجموعة الأم أي مجموعة أشهر السنة .

لماذا؟

لأن مجموعة أشهر الصيف تحوي ثلاثة عناصرٍ فقط وهي أشهر الصيف , بينما تحوي المجموعة الأم  تسعة عناصر غير موجودة في المجموعة الجزئية أي مجموعة أشهر الصيف , وهذه العناصر التسعة الزائدة  هي أشهر الخريف و الشتاء و الربيع .

ولذلك فإن مجموعة  أشهر الصيف هي مجموعةٌ جزئية حقيقية من مجموعة أشهر السنة .

 

بينما  مجموعة  أشهر السنة هي مجموعةٌ جزئية من نفسها  و لكنها مجموعةٌ جزئية غير حقيقية , لماذا ؟

لأننا إذا اعتبرنا مجموعة أشهر السنة مجموعةً جزئيةً من نفسها فإنها تحوي العناصر ذاتها الموجودة في المجموعة الأم وهي الاثني عشر شهراً .

 

O تذكر دائماً :

P كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها و لكنها مجموعة جزئية غير حقيقية .

مجموعة أشهر السنة هي مجموعة جزئية من نفسها.

P المجموعة الجزئية غير الحقيقية هي المجموعة التي تحوي العدد ذاته من العناصر الموجودة في المجموعة الأم.

مجموعة أشهر السنة هي مجموعة جزئية  من نفسها و لكنها مجموعةٌ جزئية غير حقيقية غير حقيقية لأنها تحوي 12 عنصراً هي أشهر السنة .

O المجموعة الجزئية الحقيقية هي المجموعة الجزئية التي تحوي عدداً أقل من العناصر التي تحويها المجموعة الأم .

مجموعة أشهر الصيف هي مجموعة جزئية حقيقية من مجموعة أشهر السنة , لأنها تحوي ثلاثة عناصر هي أشهر الصيف بينما تحوي المجموعة الأم , أي مجموعة أشهر السنة 12 عنصراً .

 

 

كيف نرمز للمجموعة الجزئية الحقيقية؟

هذا هو رمز المجموعة  الجزئية الحقيقية  .

فنقول مثلاً :

بأن  مجموعة أشهر الصيف هي مجموعة جزئية حقيقية من مجموعة أشهر السنة .

مجموعة أشهر الصيف   مجموعة أشهر السنة .

MS

 

O هنالك علاقة طردية بين عدد عناصر المجموعة و بين عدد المجموعات الجزئية التي تنتمي لتلك المجموعة .

O كلما كان عدد عناصر المجموعة أكبر , كان عدد المجموعات الجزئية التي تنتمي إليها أكبر .

 

Oكيف نمثل المجموعات الجزئية لمجموعة ما ؟

أولاً نذكر المجموعة الخالية .لماذا؟

لأن المجموعة الخالية هي مجموعةٌ جزئية من كل مجموعة .

ثانياً  نذكر المجموعات الجزئية التي تتألف من عنصرٍ واحد و التي تنتمي لتلك المجموعة .

ثالثاً نذكر المجموعات الجزئية التي تتألف من عنصرين اثنين و التي تنتمي لتلك المجموعة, و هكذا…

و بعد ذكر جميع المجموعات الجزئية التي تنتمي لتلك المجموعة , فإننا نذكر المجموعة الأم ذاتها باعتبارها مجموعةً جزئية من نفسها , لماذا؟

لأن كل مجموعة هي مجموعةٌ جزئية من نفسها , و على سبيل المثال فإن  مجموعة أشهر السنة  هي مجموعةٌ أم وهي في الوقت نفسه مجموعة جزئية من نفسها .

و كل مجموعة تخطر لك سواءً أكانت مجموعةٌ أم أو مجموعة جزئية هي مجموعةٌ جزئية من نفسها .

 

Oإذا كانت لدينا مجموعة Mمؤلفة من ثلاثة عناصر A ,C,B   :

A ,C,B }   } M=

فهذا يعني بأن المجموعة  M  تتألف من ثمانية مجموعات جزئية هي:

المجموعة الخالية   ( لأن المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة) .

المجموعة } A ,C,B }   ( لأن كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها)

المجموعة الجزئية } B }

المجموعة الجزئية } C }

المجموعة الجزئية } C,B }

المجموعة الجزئية } A }

المجموعة الجزئية } A,B }

المجموعة الجزئية } A,C }

 

O لدينا المجموعة  ش   التي تتألف من العناصر:

ش= ( عمرو, طارق, نور )

ما هي المجموعات الجزئية الموجودة في هذه المجموعة ؟

1 –  المجموعة الخالية ∅ : لأن المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة .

2 – المجموعة ش التي تتألف من العناصر  :  ش= ( عمرو, طارق, نور) : لأن كل مجموعة هي مجموعةٌ جزئيةُ من نفسها.

3 – المجموعة الجزئية ( عمرو) .

4 – المجموعة الجزئية (طارق) .

المجموعة الجزئية ( عمرو, طارق)

المجموعة الجزئية  (نور)

المجموعة الجزئية  ( عمرو, نور)

المجموعة الجزئية ( طارق, نور)

 

 

قم بإنشاء مجموعة تتألف من عدة عناصر ثم عدد المجموعات الجزئية التي تحويها مجموعتك- يمكنك أن تنشئ مجموعة تتضمن اسمك و أسماء أخوتك أو اسمك و أسماء أصدقائك و بعد ذلك يمكنك أن تذكر المجموعات الجزئية التي تتضمنها تلك المجموعة بالطريقة التي ذكرتها أعلاه.

 

معتبراً أن:

المجموعة الخالية   هي مجموعة جزئية من كل مجموعة .

كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها .

كل عنصر من عناصر المجموعة يعتبر مجموعةً جزئية من تلك المجموعة .

كل عنصرين من عناصر المجموعة يشكلان مجموعةٌ جزئية من المجموعة .

كل ثلاثة عناصر من المجموعة تشكل مجموعةً جزئية من المجموعة … و هكذا …

شريطة أن لا تحوي مجموعتين جزئيتين على ذات العناصر .

بمعنى لا يجوز أن تقول بأن  لديك المجموعة الجزئية } A,C }  و المجموعة الجزئية ,A} C } فتعتبر خطأً بأن هذه المجموعة الواحدة مجموعتين جزئيتين لأنك غيرت ترتيب عناصرها  .

 

Oالعمليات  الحسابية على المجموعات:

تقاطع مجموعتين  intersection :

متى نقول عن مستقيمين أنهما مستقيمين متقاطعين أو متى نقول عن خطين أنهما خطين متقاطعين؟

عندما يلتقيان في نقطةٍ ما .

هل تنتمي نقطة التقاطع تلك لأحد هذين المستقيمين ؟

كلا , لأن نقطة التقاطع هي نقطة مشتركة بين هذين المستقيمين المتقاطعين أو المتعامدين , أي أنهى تنتمي إلى كلٍ منهما.

إذا نقول عن مستقيمين أنهما مستقيمين متقاطعين عندما تكون هنالك نقطةٌ مشتركة بينهما.

الآن :

هل يمكن أن تتقاطع مجموعتين مع بعضهما البعض , أي هل يمكن أن نقول عن مجموعتين بأنهما مجموعتين متقاطعتين ؟

الإجابة هي : نعم .

متى نقول عن مجموعتين بأنهما مجموعتين متقاطعتين ؟

عندما تكون هنالك عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين , أو عندما تكون هنالك مجموعة جزئية مشتركة بين هاتين المجموعتين.

لدينا المجموعة  :

م = }  و , ى,ر, ش , س, ت, ن , ك ,ط {

و لدينا المجموعة د = }   ك , ط , ج , خ, خ , ه, ع , غ , ف, ق , ص , ض{

الآن , هل المجموعتين  م  و  د  هما مجموعتين متقاطعتين .

نعم .

لماذا ؟

لأن هنالك عنصرين مشتركين بينهما و هما العنصر  ك   و العنصر ط   , أي أن المجموعتين   م  و د   تتقاطعان في المجموعة الجزئية المشتركة بينهما   }ك, ط{

 

إن تقاطع المجموعتين  م , د  هو   المجموعة (الجزئية)  التي تتألف من العناصر التي تنتمي  إلى كلتا هاتين المجموعتين على حدٍ سواء .

إن تقاطع  المجموعتين  م, د هو  المجموعة الجزئية  المشتركة بين هاتين المجموعتين و التي تتألف من العناصر المشتركة بينهما .

 

Oلدينا مجموعة الحيوانات الأليفة = }  دجاجة , بقرة , خروف, كلب, بطة , إوزة , قطة{

لدينا مجموعة الحيوانات اللاحمة }=    نمر , فهد , تمساح , ذئب, ثعلب, قطة , كلب{

هل هاتين المجموعتين متقاطعتين ؟ نعم .

ما هو تقاطع هاتين المجموعتين ؟

تقاطع هاتين المجموعتين  هو المجموعة (الجزئية) المشتركة بينهما }  قطة , كلب{   و التي تتألف من العنصرين  المشتركين  قطة  و كلب  و الموجودين في كلٍ من هاتين المجموعتين , أي مجموعة الحيوانات الأليفة و مجموعة الحيوانات اللاحمة .

 

Oالآن كلما  عانيت من الأرق و لم تستطع النوم ابحث في مخيلتك عن مجموعتين متقاطعتين و بين تقاطع هاتين المجموعتين .

 

كيف نرمز لتقاطع مجموعتين ؟

نرمز لتقاطع مجموعتين بحرف U مقلوب رأساًً على عقب أي ∩ .

∩  هو رمز تقاطع مجموعتين .

 

كيف تعبر عن تقاطع مجموعتين بشكلٍ رياضي ؟

لنعد إلى مثالنا الأول المتعلق بتقاطع المجموعتين م  و د , فنقول :

م ∩ د =} ك : ك ∈م ∧ ك ∈د {

نترجم العلاقة السابقة على الشكل التالي :

إن تقاطع المجموعة  م   مع المجموعة  د   هو المجموعة الجزئية المشتركة ك  و التي تحقق الشرط  أنها تنتمي إلى المجموعة  م  و أنها تنتمي إلى المجموعة د على حدٍٍٍ سواء.

مثال آخر:

a∩ b={c : c ∈ a ⋀ c ∈ b}

إن تقاطع ∩ المجموعتين  a  و b  يساوي  المجموعة الجزئية المشتركة c  و التي تحقق الشرط  أنها تنتمي إلى المجموعة a  و    أنها تنتمي ∈ إلى المجموعة b .

 

 

قلنا أن الرمز ∩  يعني   تقاطع و الرمز  ∈  يعني  ( تنتمي )  أما  النقطتين :   فإنهما يعنيان عبارة  :  ( التي تحقق الشرط ) و الرمز ∧  يعني  ” و ”  .

 

ÿ أتمنى أن لا تخذلني برمجيات الموقع فتختلط الرموز ببعضها البعض .

P لا تأثير للترتيب في عملية التقاطع :

م∩د= د∩م

م تقاطع د = د تقاطع م

 

بما أن المجموعة الخالية هي مجموعةٌ جزئية من كل المجموعات فهذا يعني بأنها موجودة في كل مجموعة و هذا يعني بأن المجموعة الخالية ∅ هي مجموعةٌ مشتركة بين جميع المجموعات .

و لذلك فإذا طلب أحدهم منا أن نقاطع مجموعتين ليست هنالك أية عناصرٍ مشتركة بينهما فإننا سنقول بأن تقاطع هاتين المجموعتين مع بعضهما البعض هو  المجموعة الخالية ∅.

مثال :

لدينا المجموعة ك = }    ح , خ , ه , ع , غ , ف , ق {

و لدينا المجموعة  م = }  ط , ن , ت , ا , ل , ب , ي , س , ش {

و كما ترون  ليست هنالك أية عناصرٍ مشتركة بينهما .

الآن لو طلب منا أن نقاطع هاتين المجموعتين مع بعضهما البعض  :

ك تقاطع م

ك ∩ م

فإننا سنقول بأن تقاطع المجموعة ك مع المجموعة م  هو المجموعة الخالية ∅.

ك ∩ م =  المجموعة الخالية .

ك∩ م = ∅

ولذلك :

O  يمكن أن نقاطع أي مجموعتين مع بعضهما البعض حتى و إن لم تكن هنالك عناصر مشتركة بينهما . لماذا؟

لأن المجموعة الخالية هي مجموعةٌ جزئية من كل مجموعة , أي أن المجموعة الخالية هي مجموعةٌ جزئية موجودة في كل مجموعة حتى و إن لم نذكرها , و لهذا السبب فإن نتيجة تقاطع أي مجموعتين مع بعضهما البعض هي المجموعة الخالية ∅.

المجموعة الخالية ∅ هي ناتج تقاطع أي مجموعتين مع بعضهما البعض.

لدينا المجموعة ب و التي تتألف من العناصر :

ب = ( فراس, يحيى, يوسف, محمد , مجد )

ولدينا المجموعة ج التي تتألف من العناصر :

ج= ( سامر, عمر, عبد الهادي, عبد الرحمن)

ماهو تقاطع المجموعة ب مع المجموعة ج  ؟ أي ما هي مجموعة العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين ؟

نقول بأن تقاطع المجموعة ب     مع المجموعة ج  تساوي المجموعة الخالية ∅ .

ب ∩ ج  = ∅

و علينا الانتباه جيداً إلى أننا لا نعني بهذا القول بأنه لا توجد عناصر مشتركة بينهما , بل إننا نعني بأن  المجموعة الخالية هي المجموعة المشتركة بينهما لأن المجموعة الخالية هي مجموعةٌ جزئية من كل مجموعة أي أنها موجودةٌ في كل مجموعة و بالتالي فإنها مجموعةٌ مشتركة بين كل المجموعات الموجودة في العالم و أنها ناتج تقاطع أي مجموعة مع مجموعة أخرى .

 

O تذكر دائماً بأنه المجموعة الخالية لا تحوي أي عنصر .

 

O بناء مجموعات لا نهائية من مجموعةٍ خالية واحدة  – بناء مجموعات لا نهائية من العدم , هل يمكن ذلك ؟

في البداية يكون لدينا المجموعة الخالية ∅ .

ننشئ مجموعةٌٌ خالية تحوي عنصراً واحداً هو المجموعة الخالية }{

ننشئ مجموعةً تتضمن هذين العنصرين الذين هما  المجموعة الخالية ∅ و المجموعة التي تحوي عنصراً واحداً هو المجموعة الخالية }{.

فنحصل بذلك على ثلاث مجموعات  هي :

المجموعة الخالية ∅

المجموعة التي تحوي عنصراً واحداً (الذي هو المجموعة الخالية }{  ) .

المجموعة الأخيرة التي أنشأناها و التي تتضمن كلاً  من المجموعة الخالية ∅ و المجموعة التي تحوي عنصراً واحداً (الذي هو المجموعة الخالية }{  ) .

و الآن يمكننا أن ننشئ مجموعة خالية رابعة تتضمن كل تلك المجموعات الثلاث ثم ننشئ مجموعة خامسة تتضمن كل المجموعات التي سبقتها.

نستطيع القيام بهذا الشيء بشكلٍ غير نهائي بحيث أننا ننشئ مجموعة جديداً تتضمن كل المجموعات التي سبق لنا أن قمنا بإنشائها.

 

Oقلت سابقاً بأن المجموعة  الخالية  ∅  هي مجموعةٌ جزئية من كل المجموعات .

فإذا سألني شخصٌ ما :

ما هو تقاطع  أي مجموعة مع المجموعة الخالية , أي ما هو العنصر المشترك بين أي مجموعة و بين المجموعة الخالية فكيف سيكون جوابي على ذلك؟

بما أن المجموعة الخالية ∅  هي مجموعةٌ جزئية من كل المجموعات فإن تقاطع أي مجموعة مع المجموعة الخالية  هو المجموعة الخالية ∅.

أي مجموعة   تقاطع المجموعة الخالية تساوي المجموعة الخالية .

أي مجموعة ∩ ∅ = ∅

S∩∅= ∅

 

Oإذا سألني شخصٌ  ما : ما هو ناتج تقاطع أي مجموعة مع نفسها , فبماذا أجيب؟

إذا عدنا لتعريف التقاطع فإنه يعني العناصر المشتركة بين مجموعتين .

الآن لو تقاطعت المجموعة مع نفسها فما هي العناصر المشتركة بين المجموعة و نفسها , إنها كل العناصر أو بشكلٍ أدق إنها المجموعة نفسها كلها , تماماً كما يحدث عندما تنظر إلى صورتك في مرآة  صحيحة لتبحث فيها عن أوجه التشابه بينك و بين صورتك في المرآة .

إذاً فإن  ناتج تقاطع أي مجموعة مع نفسها هو المجموعة نفسها :

S S=S

تقاطع المجموعة S مع المجموعة S هو المجموعة S

M M=M

تقاطع المجموعة M مع المجموعة M هو المجموعة M

وهذا الأمر ينطبق على أي مجموعة …

 

لدي مجموعة  W  تحوي العناصر a,b,c

W={a,b,c}

الآن لو طلب مني أن أقاطع هذه المجموعة مع نفسها , أي أن أبحث عن العناصر المشتركة بين المجموعة و نفسها فإنني سأقول .

{a,b,c} {a,b,c} = {a,b,c}

العناصر المشتركة هي جميع العناصر

ww=w

 

Oو لكن تذكر دائماً أنه في علم المجموعات فإن تقاطع مجموعة مع مجموعة  هي مجموعة و ليس عنصراً , بمعنى أن ناتج تقاطع أي مجموعة مع مجموعة أخرى يجب أن تكون مجموعة و ليس عنصراً أو عناصر  بل مجموعة مؤلفة من عنصرٍ واحد أو من مجموعة عناصر هي عنصر أو عناصر التقاطع .

فإذا قاطعت مجموعة الحيوانات الأليفة مع مجموعة الحيوانات اللاحمة فإن الناتج  لن يكون عنصري  القطة و الكلب بل  مجموعة مؤلفة من عنصرين هما القطة و الكلب .

مجموعة الحيوانات اللاحمة ∩ مجموعة الحيوانات الأليفة = مجموعة مؤلفة من عنصرين هما القطة و الكلب .

}  مجموعة الحيوانات اللاحمة{  ∩ }  مجموعة الحيوانات الأليفة { = }  القطة, الكلب{

 

O دائماً نعبر عن المجموعة بقوسين يحويان عنصراً واحداً أو مجموعة عناصر نفصل بينها بفواصل.

دائماً يجب أن نعبر عن حاصل تقاطع مجموعتين على شكل مجموعة أي أن نضعه بين قوسين , و إذا كان حاصل التقاطع أكثر من عنصرٍ واحد فيجب أن نفصل بينها بفواصل.

 

P  اتحاد المجموعات union ∪  – ∪

نرمز لاتحاد مجموعتين بحرف U كبير  باعتباره الحرف الأول من كلمة Union (اتحاد).

مثال على اتحاد مجموعتين :

لدينا مجموعة الحيوانات العاشبة ع=   }حصان , خروف , غزال {

و لدينا مجموعة الحيوانات اللاحمة ل=}  نمر , فهد , ذئب , ثعلب {

إن اتحاد هاتين المجموعتين  هو :

اتحاد مجموعة الحيوانات العاشبة مع مجموعة الحيوانات اللاحمة تساوي :

ع∪ل= } حصان , خروف, غزال, نمر, فهد, ذئب, ثعلب {

Oاتحاد  مجموعتين يؤدي إلى تشكيل مجموعة تحوي جميع عناصر هاتين المجموعتين.

 

مثال آخر عن اتحاد مجموعتين :

لدينا المجموعة A={Q,W,E,R}

و المجموعة  B={S,D,F,G,H,J,K,L}

اتحاد  المجموعتين A و B يساوي

AB={Q,W,E,R,S,D,F,G,H,J,K,L}

Oاتحاد  مجموعتين مع بعضهما البعض  يؤدي إلى تشكيل مجموعة تحوي جميع عناصر هاتين المجموعتين.

 

الآن ماذا لو اندمجت مجموعتين تحويان عناصر مشتركة , هل نذكر العنصر المشترك مرة واحدة فقط , أم أننا نذكره مرتين في المجموعة الناتجة عن اندماج مجموعتين؟

عند اندماج مجموعتين تحويان عناصر مشتركة بينهما فإن علينا أن لا نكرر  ذكر تلك العناصر المشتركة .

مثال :

A={Q,W,E,R,T,Y,O,P }

B={S,D,F,G,H,J,K,Q,W,E }

لدينا هنا ثلاثة عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين , و هذه العناصر الثلاثة هي Q,W,E.

الآن إذا دمجنا هاتين المجموعتين سوياً :

AB

فإن نتيجة هذا الاندماج ستكون مجموعة تحوي جميع عناصر هاتين المجموعتين مع عدم تكرار المكرر منها  :

AB={Q,W,E,R,T,Y,O,P,S,D,F,G,H,J,K }

لاحظ كيف قمنا بذكر العناصر المتكررة Q,W,E  مرةً واحدة فقط  .

 

ولو عبرنا بصيغة رياضية عن اتحاد هاتين المجموعتين فإننا نقول:

AB={A:AA AB}

إن اتحاد  المجموعتين  A و B مع بعضهما  يساوي المجموعة المؤلفة من جميع العناصر A التي تحقق الشرط أنها تنتمي للمجموعة A أو أنها تنتمي للمجموعة B .

∨  أو or

  التي تحقق الشرط

∋  تنتمي

 

Oالاختلاف بين عملية جمع الأعداد و بين عملية اتحاد  المجموعات :

عندما نجري عملية الجمع على الأعداد الموجبة الصحيحة فيجب أن يكون ناتج الجمع دائماً أكبر من الأعداد الداخلة في عملية الجمع .

مثال

2+5=7

العدد 7 أكبر من العددين   5 و2 ولا يمكن أبداً أن يكون حاصل جمع الأعداد الموجبة الصحيحة أصغر من الأعداد الداخلة في عملية الجمع.

أما في عمليات جمع المجموعات فإن هذا الأمر ليس شرطاً :

لأنه عند اندماج مجموعتين تحويان عناصر مشتركة بينهما فإن علينا أن لا نكرر  ذكر تلك العناصر المشتركة و بالتالي فإن ناتج اتحاد مجموعتين مع بعضهما البعض يمكن أن يكون أقل من مجموع عناصر هاتين المجموعتين مع بعضهما وذلك في حال كانت هنالك عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين..

مثال :

A={Q,W,E,R,T,Y,O,P}

B={S,D,F,G,H,J,K,Q,W,E}

لدينا هنا ثلاثة عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين , و هذه العناصر الثلاثة هي Q,W,E.

الآن إذا دمجنا هاتين المجموعتين سوياً :

AB

فإن نتيجة هذا الاندماج ستكون مجموعة تحوي جميع عناصر هاتين المجموعتين مع عدم تكرار المكرر منها  :

AB={Q,W,E,R,T,Y,O,P,S,D,F,G,H,J,K}

لاحظ كيف قمنا بذكر العناصر المتكررة Q,W,E  مرةً واحدة فقط  .

لا حظ كيف أنه في المجموعة  الأولى A كان لدينا  ثمانية عناصر و هي   Q,W,E,R,T,Y,O,P  بينما كان لدينا في المجموعة الثانية  B   عشرة عناصر وهي

S,D,F,G,H,J,K,Q,W,E  , بينما كان حاصل اندماج أو جمع هاتين المجموعتين 15 عنصر  وهي Q,W,E,R,T,Y,O,P,S,D,F,G,H,J و ليس ثمانية عشر عنصراً , ذلك أننا عند إجراء عمليات الجمع على المجموعات فإننا نذكر العنصر المكرر أو العنصر المشترك بين المجموعتين اللتين نقوم بجمعهما مرةً واحدةً فقط.

 

O لتكن لدينا المجموعة  م  و التي تتألف من العناصر :

م= ( رمان, موز, نخيل, تفاح, مشمش, ليمون, برتقال )

و لتكن لدينا المجموعة ن و التي تتألف من العناصر :

ن= ( رمان, موز, نخيل, أناناس, جوز الهند , فراولة)

الآن ماهو ناتج اتحاد هاتين المجموعتين مع بعضهما البعض؟

م ∪ ن = ( رمان, موز, نخيل, تفاح, مشمش, ليمون, برتقال, أناناس, جوز الهند, فراولة)

المجموعة م  تتألف من سبعة عناصر  بينما المجموعة  ن تتألف من ستة عناصر , أما ناتج اتحاد هاتين المجموعتين مع بعضهما فإنه مجموعةٌ تتألف  من عشرة عناصر لأن هنالك ثلاثة عناصر مشتركة ( مكررة) ولذلك فإننا لم نذكرها إلا مرةً واحدة.

 

P  جمع المجموعة مع نفسها :

لدينا المجموعة A  المؤلفة من أربعة عناصر هي Z,X,C,V

A={Z,X,C,V}

فإذا أردنا أن نجمع هذه المجموعة مع نفسها نقول :

A A={Z,X,C,V} {Z,X,C,V}={Z,X,C,V}

أي أن حاصل جمع المجموعة مع نفسها هو عناصر المجموعة نفسها مذكورة مرةً واحدة , أي أننا عندما نجمع المجموعة مع نفسها لا نقوم بتكرار عناصر المجموعة و نقول بشكلٍ خاطئ  :

N

A A={Z,X,C,V} {Z,X,C,V} ={Z,Z,X,X,C,C,V,V}

 

لدينا المجموعة س و التي تتألف من العناصر :

س= ( كندا , أستراليا, ألمانيا, إنكلترا )

ما هو ناتج اتحاد هذه المجموعة مع نفسها؟

نقول بأن  س اتحاد س

س ∪ س = ( كندا, أستراليا, ألمانيا, إنكلترا) .

ناتج اتحاد المجموعة س مع نفسها يساوي عناصر المجموعة س نفسها( غير مكررة)

O تذكر دائماً بأنه في علم المجموعات لا يجوز أبداً أن  نذكر العنصر الواحد أكثر من مرة واحدة .

 

P جمع مجموعة مع مجموعة جزئية منها subset:

ما هو ناتج جمع مجموعة أم مع مجموعةٍ جزئية منها  subset ؟

لدينا المجموعة الأم :

A={z,x,c,v,n,m,s,d,f,g,h,j,k,l,q,w,e,r}

و لدينا مجموعة جزئية منها هي :

B={z,x,c}

الآن إذا طلب منا أن نجمع هاتين المجموعتين مع بعضهما البعض فهل نقول :

(انتبه مثال خاطئ ):

A B={z,z,x,x,c,c,v,n,m,s,d,f,g,h,j,k,l,q,w,e,r}

أي أننا قمنا (بشكلٍ خاطئ)  بتكرار العناصر المشتركة  z,x,c  .

بالطبع هذا أمرٌ غير صحيح , لماذا؟

لأننا قلنا سابقاً بأنه عند إجراء عمليات جمع المجموعات فإننا لا نكرر ذكر العناصر المشتركة, بل نذكر العنصر المشترك مرةً واحدة فقط حتى و لو تكرر مليون مرة .

ولذلك عند جمع هاتين المجموعتين فإننا نقول :

BA

أي أن المجموعة B هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة الأم A .

الآن :

A B={z,x,c,v,n,m,s,d,f,g,h,j,k,l,q,e,r}

أي أن :

أي أن حاصل جمع مجموعةٍ أم مع مجموعة جزئية منها ( مجموعة جزئية تنتمي إليها ) هو عناصر المجموعة الأم ذاتها .

أي أن :

A B=A

 

تذكر دائماً : إذا كانت  BA  أي إذا كانت B مجموعةً جزئية من المجموعة A فإن

حاصل جمع المجموعة الأم مع مجموعةٍ جزئيةٍ منها هو المجموعة الأم ذاتها.

A B=A

 

P  عملية جمع مجموعتين هي عمليةٌ تبديلية : بمعنى أن ناتج العملية لا يتغير عندما نعكس موقع المجموعتين موضوع عملية الجمع:

حاصل جمع المجموعة Z مع المجموعة X  يساوي حاصل جمع المجموعة X مع المجموعة Z :

ZX=XZ

 

P الفرق بين مجموعتين Divide :

رمز الفرق بين مجموعتين هو  الخط المائل (سلاش) /  .

الفرق بين مجموعتين  هو مجموع العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الأولى ولا تنتمي للمجموعة الثانية .

مثال :

لدي المجموعة الأولى :

A={Z,X,C,V,B,N,M}

و لدي المجموعة الثانية B

B={Q,W,E,Z,X,C,}

الآن , ماهي العناصر التي تنتمي للمجموعة A و لا تنتمي للمجموعة B أي ما هي العناصر التي توجد في المجموعة الأولى ولا توجد في المجموعة الثانية؟

إنها العناصر :  V,B,N,M

إن هذه العناصر هي الفرق بين هاتين المجموعتين ولذلك فإن:

المجموعة A  فرق المجموعة B  تساوي  مجموعة العناصر  {V,B,N,M}

A/B={V,B,N,M}

 

إذا أصابك أرقٌ منعك من النوم فكر في مجموعتين من الحياة الواقعية  تحوي أولاهما عناصر لا توجد في المجموعة الثانية .

لنقل مثلاً بأن لدينا مجموعة طيور المزرعة   ف = }  البط , الإوز , الدجاج, الحمام , الدجاج الرومي {

و لنقل بأن لدينا مجموعةً ثانية هي مجموعة الطيور المهاجرة  م = ( البط , الإوز , السنونو , الزرزور, اللقلق  ).

 

الآن ماهو الفرق بين  المجموعة الأولى و بين المجموعة الثانية , أي ماهي المجموعة التي تتألف من العناصر التي تنتمي للمجموعة الأولى ولا تنتمي إلى المجموعة الثانية ؟

إنها مجموعة  (الدجاج , الحمام, الدجاج الرومي)  لأنها موجودة في المجموعة الأولى و غير موجودة في المجموعة الثانية  .

إذاً  ف فرق م = (الدجاج , الحمام, الدجاج الرومي)

فl م = (الدجاج , الحمام, الدجاج الرومي)  .

 

مثال آخر :

لدينا مجموعة حيوانات المزرعة   و لتكن  ح :

ح = ( كلب , خروف , بقرة, معزاة, حصان )

لدينا مجموعة الحيوانات اللاحمة  و لتكن  المجموعة ل:

ل= ( كلب , نمر, فهد, ذئب, ضبع, ثعلب , تمساح)

الآن ماهو الفرق بين  المجموعة الأولى و بين المجموعة الثانية , أي ماهي المجموعة التي تتألف من العناصر التي تنتمي للمجموعة الأولى ولا تنتمي إلى المجموعة الثانية ؟

إنها مجموعة  (خروف , بقرة, معزاة, حصان)  لأنها موجودة في المجموعة الأولى و غير موجودة في المجموعة الثانية  .

إذاً  ف فرق م = (خروف , بقرة, معزاة, حصان)

فl م = (خروف , بقرة, معزاة, حصان)  .

 

Oفكر قبل أن تنام في  مجموعاتٍ أخرى مماثلة .

 

Oالتعبير الرياضي  عن  الفرق بين مجموعتين :

A/B={A:AA   A∌B}

و نقرأ هذه الصيغة على الشكل التالي:

الفرق بين المجموعة A و المجموعة B  هي عناصر المجموعة A التي تحقق الشرط أنها تنتمي للمجموعة A و لا تنتمي للمجموعة B .

 

A/B={A:A∋A ∧ A∌B}}

و نقرأ هذه الصيغة على الشكل التالي:

الفرق بين المجموعة A و المجموعة B  هي عناصر المجموعة A التي تحقق الشرط أنها تنتمي للمجموعة A و لا تنتمي للمجموعة B .

 

حيث أن :

/   الفرق

:  التي تحقق الشرط

∋  تنتمي

∧  ” و”   and

∌ لا تنتمي

 

P  الفرق بين مجموعتين هي عملية غير تبديلية أي  أن :

A/B B/A

المجموعة الأولى فرق المجموعة الثانية  لا تساوي المجموعة الثانية فرق المجموعة الأولى .

بمعنى أننا إذا قلبنا المجموعتين فإننا لن نحصل على النتيجة ذاتها .

 

P مطابقة المجموعات:

لنتخيل بأن لدينا مجموعتين المجموعة الأولى تتضمن أسماء أزهار أما المجموعة الثانية فإنها تتضمن صوراً لتلك الأزهار – الآن إذا طلب أحدهم منا أن نصل بين اسم كل زهرة و صورتها فإننا سنرسم أسهماً موجهة تنطلق من اسم الزهرة و تصل إلى صورتها .

نسمي المجموعة التي تنطلق منها  اسهم التسمية بالمجموعة المصدر , و نسمي المجموعة التي تصل إليها الأسهم بالمجموعة الهدف .

في حال لم يكن هنالك تطابقٌ بين أسماء الأزهار و صورها فإن هنالك صوراً لن تصلها الأسهم , مثلاً إذا كان لدينا صورة للياسمين  في المجموعة الثانية ولم يكن هنالك  اسم الياسمين مذكوراً في المجموعة الأولى فإن صورة الياسمين لن يصلها أي سهم .

و من الممكن أن يصل سهمين اثنين  لصورةٍ واحدة , مثلاً إذا كان هنالك اسمين اثنين في المجموعة الأولى لزهرةٍ واحدة من المجموعة الثانية :

مثلاً قد يكون لدي اسم الوردة الجورية و اسم الوردة الدمشقية في المجموعة الأولى بينما يكون لدي صورةٌ واحدة لهذه الوردة في المجموعة الثانية و هنا سأصل هذه الوردة باسمين من المجموعة الأولى و سهمين :

الوردة الدمشقية ßصورة الوردة الدمشقية أو الوردة الجورية

الوردة الجورية ß صورة الوردة الدمشقية أو الوردة الجورية.

و قد يكون لدي اسم زهرة الرمان  و الاسم جلنار  في المجموعة الأولى بينما يكون لدي صورةٌ واحدة لهذه الزهرة  في المجموعة الثانية و هنا سأصل هذه الزهرة  باسمين من المجموعة الأولى و سهمين :

زهر الرمان  ßصورة زهر الرمان

الجلنار ß صورة زهر الرمان

و قد يكون لدي اسم زهرة الكرز  و الاسم ساكورا   في المجموعة الأولى بينما يكون لدي صورةٌ واحدة لهذه الزهرة  في المجموعة الثانية و هنا سأصل هذه الزهرة  باسمين من المجموعة الأولى و سهمين:

زهرة الكرزßصورة زهرة الكرز

ساكورا ßصورة زهرة الكرز

ساكورا هو الاسم الياباني لزهرة الكرز.

 

P مفهوم التقابل :

التقابل هو أن يكون لكل عنصرٍ في المجموعة الأولى ما يقابله في المجموعة الثانية بحيث لا يبقى أي عنصر بلا مقابل و بحيث يتصل كل عنصر من المجموعة الأولى بعنصرٍ واحد من المجموعة الثانية كما هو الحال في المثال السابق عن الأزهار و أسمائها .

و المجموعتين المتقابلتين تمتلكان العدد ذاته من العناصر حتى يتحقق تقابل كل عنصرٍ من المجموعة الأولى بعنصرٍ مناسب من المجموعة الثانية .

غير أنه يتوجب علينا الانتباه إلى أنه ليست كل مجموعتين تحويان العدد ذاته من العناصر هما مجموعتين متقابلتين.

 

جميع المجموعات المتقابلة هي مجموعاتٌ متكافئة و يرمز للتكافؤ بين مجموعتين بالرمز  ≅ و أحياناً يشار إلى ذلك بالرمز ≈  .

 

P الجداء الديكارتي لمجموعتين :

لتكن لدينا مجموعتين  A  و  B :

المجموعة الأولى  A تتألف من العناصر :

A={MN}

المجموعة الثانية B  تتألف من العناصر :

B={ L,H,F}

الأن سنقوم بتحويل عناصر هاتين المجموعتين إلى ثنائيات شريطة أن نأخذ العنصر الأول من المجموعة الأولى و أن نأخذ العنصر الثاني من المجموعة الثانية  , و هكذا فإننا سنبدأ بالعنصر الأول  من المجموعة الأولى , أي العنصر M و سنقوم بمزاوجته مع عناصر المجموعة الثانية  فنحصل على الآتي :

(M,L) ,(MH),(M,F)

و الآن نقوم بمزاوجة العنصر الثاني من المجموعة الأولى مع عناصر المجموعة الثانية فنحصل على الثنائيات التالية :

(N,L),(NH),(NF)

 

الآن نقوم بتشكيل مجموعة تتألف من كل تلك الثنائيات التي حصلنا عليها :

{ (M,L),(M,H),M,F),N,L),(N,H),(N,F)}

إن هذه المجموعة التي حصلنا عليها بهذه الطريقة تدعى بحاصل الجداء الديكارتي  للمجموعتين  A و B  و رمزها  A×B  .

 

O مثالٌ آخر عن الجداء الديكارتي لمجموعتين:

لنقل بأن لدينا المجموعة   آ    و تتألف من العناصر :

آ= (   ألمانيا , إنكلترا )

و لدينا المجموعة   ب التي تتألف من العناصر :

ب= ( كندا , أستراليا ) .

ما هو الجداء الديكارتي لهاتين المجموعتين ؟

نزاوج العنصر الأول من المجموعة الأولى و هو هنا ( ألمانيا)  مع عناصر المجموعة الثانية فنحصل على الثنائيات التالية :

( ألمانيا , كندا ) , ( ألمانيا , أستراليا)

الأن : نزاوج  العنصر الثاني من المجموعة الأولى  وهو هنا  ( إنكلترا) مع عناصر المجموعة الثانية  فنحصل على الثنائيات التالية :

( إنكلترا , كندا) , ( إنكلترا , أستراليا ) .

الآن نقوم بتشكيل مجموعة تتألف من كل الثنائيات التي حصلنا عليها :

 }  ( ألمانيا , كندا ) , ( ألمانيا , أستراليا) , ( إنكلترا , كندا) , ( إنكلترا , أستراليا ) {

و هذه المجموعة التي حصلنا عليها هي حصيلة الجداء الديكارتي للمجموعتين    آ و ب .

 

Oقم بتشكيل مجموعتين في خيالك تتألف كلٌ منهما من بضعة عناصر ثم قم بإيجاد حاصل الجداء الديكارتي لهاتين المجموعتين و فق الطريقة السابقة .

 

الصيغة الرياضية  للجداء الديكارتي لمجموعتين :

كما رأينا في المثالين السابقين فإن حاصل الجداء الديكارتي لمجموعتين هو جميع الثنائيات  التي يكون طرفها الأول عنصراً من المجموعة الأولى  بينما يكون طرفها الثاني عنصراً من المجموعة الثانية .

أي أنه جميع الثنائيات التي ينتمي طرفها الأول إلى المجموعة الأولى بينما ينتمي طرفها الثاني للمجموعة الثانية.

و الصيغة الرياضية لهذا الكلام هي :

A×B={ (Z,X) : Z𝜖 A XB}

و ترجمة هذا الكلام :

إن  حاصل الجداء الديكارتي  للمجموعتين A و B  هو  مجموعة الثنائيات , مثل الثنائية   Z,X و التي تحقق الشرط أن  العنصر الأول فيها  Z ينتمي للمجموعة الأولى A بينما ينتمي العنصر الثاني فيها  X  إلى المجموعة الثانية  B .

تذكر معاني الرموز :

:   التي تحقق الشرط

∈  ينتمي إلى …

∧  ” و”  and

أن حاصل الجداء الديكارتي لمجموعتين  هو مجموعة الثنائيات  التي تحقق الشرط أن عنصرها الأول ينتمي للمجموعة الأولى بينما ينتمي عنصرها الثاني إلى المجموعة الثانية .

 

P المجموعات و الأعداد :

المجموعات المتكافئة : هي المجموعات التي يكون عدد عناصرها متساوياً و التي يمكن أن نقابل كل عنصرٍ من عناصرها بعنصرٍ مكافئ من المجموعة الثانية , فإذا كان لدينا مجموعتين متكافئتين فهذا يعني بأنهما يمتلكان العدد ذاته من العناصر , كما أن هذا يعني بأن كل عنصرٍ من المجموعة الأولى يرتبط بعنصرٍ من المجموعة الثانية.

الرقم الرئيسي : هو الرقم الذي يدل على عدد عناصر المجموعة .

الرقم الترتيبي: هو الرقم الذي يدل على ترتيب ذلك العنصر في المجموعة .

فإذا كان لدينا المجموعة:

A={z,x,c,v}

فإن نقول بأن  الرقم الرئيسي  للمجموعة A  هو الرقم  4 و ذلك لأنها تتألف من أربعة عناصر .

أما الرقم الترتيبي  للعنصر Z  مثلاً فهو الأول وذلك لأن هذا العنصر هو أول عنصر من عناصر المجموعة ( من اليسار إلى اليمين).

الرقم الترتيبي للعنصر V هو الرابع  لأنه رابع عنصر في المجموعة .

الرقم الترتيبي للعنصر X هو الثاني لأنه ثاني عنصر في المجموعة …و هكذا.

 

الرقم الرئيسي للمجموعة الخالية ∅ هو الصفر , لأن هذه المجموعة لا تحوي أي عنصر .

 

P قاعدة :

عدد عناصر  مجموعتين زائد عدد العناصر الناتج عن تقاطع  مجموعتين يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى زائد عدد عناصر المجموعة  الثانية .

و إذا عبرنا بصيغة رياضية عن هذه القاعدة فإننا نقول :

n(AB)+n(AB)=n(A)+n(B)

  عدد عناصر المجموعة  .

∪ رمز جمع مجموعتين.

∩  رمز  تقاطع مجموعتين .

مثال:

لتكن لدينا المجموعتين A و B .

المجموعة A تتألف من العناصر :

A= {Q,W,E,R,T,N,M}

المجموعة B تتألف من العناصر :

B={N,M, }

الآن : ماهي نتيجة اتحاد  هاتين المجموعتين ؟

A∪B={Q,W,E,R,T,N,M }

نتيجة اتحاد هاتين المجموعتين هي  سبعة عناصر لأن هنالك عنصرين مكرران مشتركان و هما N,M وقد ذكرناهما مرةً واحدة لأنه لا يجوز تكرار أي عنصر عند جمع المجموعات.

الأن ما هي نتيجة تقاطع هاتين المجموعتين مع بعضهما البعض؟ أي ما هي العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين ؟

A∩B={N,M}

حيث أن العنصرين N,M هما العنصران المشتركان بين هاتين المجموعتين .

الآن نعود إلى القاعدة السابقة :

عدد العناصر الناتج عن اتحاد  مجموعتين زائد عدد العناصر الناتج عن تقاطع  مجموعتين يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى زائد عدد عناصر المجموعة  الثانية .

و إذا عبرنا بصيغة رياضية عن هذه القاعدة فإننا نقول :

n(A∪B)+n(A∩B)=n(A)+n(B

عدد العناصر الناتج عن اتحاد  المجموعتين A و B  هو 7  + عدد العناصر الناتج عن تقاطع  المجموعتين A ,B   هو  2  ( 7+2=9 )  يساوي  عدد عناصر  المجموعة الأولى A  أي 7   ( لأنها تتألف من سبعة عناصر) زائد عدد عناصر  المجموعة  الثانية B لأنها تتألف من عنصرين :  7+2=9 .

 

Pالتأكد من صحة العملية التي قمنا بها :

n(A∪B)+n(A∩B)=n(A)+n(B)

لدي في الحد الأول ( n(A∪B)+n(A∩B :

عدد العناصر الناتج عن  اتحاد المجموعتين  A و B  هو 7  + عدد العناصر الناتج عن تقاطع المجموعتين A ,B   هو  2  ( 7+2=9 )  .

لدي في الحد الثاني (n(A)+n(B

عدد عناصر المجموعة  الأولى A  أي 7   ( لأنها تتألف من سبعة عناصر) زائد عدد عناصر المجموعة  الثانية B لأنها تتألف من عنصرين :  7+2=9 .

9 = 9

العملية صحيحة .

 

مثال آخر:

لدي المجموعة الأولى أ تتألف من العناصر :

أ =( صنوبر, سرو, كينا, آكاسيا, سيسبان ) 5  عناصر .

و لدي المجموعة الثانية ب و التي تتألف من العناصر :

ب= ( كرز, خوخ, رمان, زيتون, صنوبر , سرو)  6 عناصر

عدد عناصر المجموعة الأولى 5 و عدد عناصر المجموعة الثانية 6 ولدي عنصرين مشتركين هما (الصنوبر و السرو) .

الآن نطبق القاعدة:

عدد العناصر الناتج عن اتحاد  مجموعتين زائد عدد العناصر الناتج عن تقاطع  مجموعتين يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى زائد عدد عناصر المجموعة  الثانية .

اتحاد المجموعة أ مع المجموعة ب يساوي

أ ∪ ب = (صنوبر, سرو, كينا, آكاسيا, سيسبان, كرز, خوخ, رمان, زيتون)

اتحاد المجموعة أ مع المجموعة ب  = 9 عناصر .

بالرغم من أن المجموعة الأولى تتألف من 5 عناصر و المجموعة الثانية تتألف من 6 عناصر , لماذا؟

لأن هنالك عنصرين مشتركين بين هاتين المجموعتين حيث أننا لا نذكر العنصر الواحد إلا مرةً واحدة في حساب المجموعات مهما تكرر ذكره.

 

الآن نحسب تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية – أي نحسب العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين :

أ تقاطع ب =

أ ∩ ب = (صنوبر, سرو)  , أي أن تقاطع هاتين المجموعتين  يساوي عنصرين 2 .

الآن مجموع اتحاد عناصر المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية زائد نتيجة تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية يساوي :

9+2=11

الآن : ما هو عدد عناصر هاتين المجموعتين ؟

11 عنصر حيث أن هنالك 5  عناصر في المجموعة الأولى و 6 عناصر في المجموعة الثانية .

11=11

العملية صحيحة.

 

 

 

P قاعدة ثانية :

في حال لم تكن هنالك عناصر مشتركة بين مجموعتين فإن مجموع عناصر هاتين المجموعتين هو ببساطة  مجموع عناصر هاتين المجموعتين .

 

لنوضح هذا الكلام بالأمثلة :

لتكن لدينا المجموعتين A و B .

المجموعة A تتألف من العناصر :

A={W,E,T,I,O,P}

و لتكن لدينا المجموعة B التي تتألف من العناصر :

B={M,N,D,H,K,L}

الآن من الواضح أنه لا توجد أية عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين , بمعنى أن تقاطع هاتين المجموعتين يساوي المجموعة الخالية ∅.

A∩B=∅

الآن ما هو مجموع هاتين المجموعتين ؟

A∪B={W,E,T,I,O,P,M,N,D,H,K,L}

مجموع هاتين المجموعتين هو 12 عنصر ذلك أن المجموعة الأولى تتألف من 6 عناصر بينما تتألف المجموعة الثانية كذلك من 6 عناصر .

6+6=12

ذلك أنه لا توجد عناصر مكررة (مشتركة ) بين المجموعتين يمكن حذفها .

الآن , و بكل بساطة فإن مجموع عناصر هاتين المجموعتين أي عدد عناصر هاتين المجموعتين  ( و هو هنا 12)  يساوي  مجموع عناصر هاتين المجموعتين  , ولدينا هنا فإن عدد عناصر المجموعة  الأولى هو 6  و كذلك فإن عدد عناصر المجموعة الثانية هو 6 .

6+6=12

 

12=12

 

معنى القاعدة السابقة :

أنه إذا كان لدينا مجموعتين لا توجد بينهما عناصر مشتركة فإن مجموع عناصرهما  يساوي مجموع عناصر المجموعة الأولى + مجموع عناصر المجموعة الثانية .

 

التعبير بصيغة رياضية عن القاعدة السابقة :

A∪B=∅

n(A∪B)=n(A)+n(B)

ترجمة هذه الصيغة :

إذا كان تقاطع المجموعتين يساوي المجموعة الخالية (الصفر) أي في حال لم تكن هنالك عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين فإن :

مجموع عناصر هاتين المجموعتين  يساوي مجموع عناصر المجموعة الأولى A مع مجموع عناصر المجموعة الثانية B .

 

هل بقي هنالك أي التباس ؟

مثال آخر  :

لدي المجموعة الأولى  آ   التي تتألف من العناصر :

آ = (  إنكلترا , ألمانيا , الدنمارك, هولندا , سويسرا )

و لدي المجموعة ب التي تتألف من العناصر :

ب= ( أستراليا, كندا )

من الواضح أنه لا توجد عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين أي أن تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية يساوي المجموعة الخالية ∅ (الصفر)

آ ∪ ب= ∅

و لذلك فإننا نطبق القاعدة السابقة التي تقول بأنه:

إذا كان تقاطع المجموعتين يساوي المجموعة الخالية (الصفر) أي في حال لم تكن هنالك عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين فإن :

مجموع عناصر هاتين المجموعتين  يساوي مجموع عناصر المجموعة الأولى زائد  مجموع عناصر المجموعة الثانية .

مجموع عناصر هاتين المجموعتين هو :

آ ∩ ب = (إنكلترا , ألمانيا , الدنمارك, هولندا , سويسراو أستراليا, كندا)

أي سبعة عناصر .

مجموع عناصر المجموعة الأولى (  إنكلترا , ألمانيا , الدنمارك, هولندا , سويسرا ) هو خمسة عناصر و مجموع عناصر المجموعة الثانية ( أستراليا, كندا )  هو عنصرين :

2+5=7

7=7

 

O الآن قم بتشكيل مجموعتين ليست بينهما عناصر مشتركة  و طبق القاعدتين السابقتين عليهما وفق الخطوات التي مرت معنا .

 

P قاعدة جديدة :

إن عدد عناصر المجموعة الناتجة عن حاصل فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية يساوي نتيجة طرح عدد عناصر المجموعة الأولى من نتيجة تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية .

هل فهمتم شيئاً ؟

لنشرح المسألة :

الصيغة الرياضية لهذا الكلام:

n(A∕B)=n(A)-n(A∩B)

و ترجمة هذه الصيغة :

إن عدد العناصر الناتج عن فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية  يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى  ناقص نتيجة تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية .

إن عدد العناصر الناتج عن فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية n(A∕B)   يساوي : عدد عناصر المجموعة الأولى n(A)  ناقص  نتيجة نقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية  n(A∩B).

 

الآن لنطبق هذه القاعدة على مثال :

لدينا  المجموعة  آ   و التي تتألف من سبعة عناصر :

آ = )  محمد , يوسف , يحيى , سامر , عبيدة , مجد , فراس )

و لدينا المجموعة ب  التي تتألف من أربعة عناصر :

ب= ( محمد , مجد , عبد الهادي , عبد الرحمن)

الآن نطبق القاعدة :

عدد العناصر الناتج عن فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية  :

آ∖ب = ( يوسف , يحيى, سامر, عبيدة, فراس)

فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية ( آ فرق ب ) هو خمسة عناصر , و الفرق كما عرفناه في السابق هو مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الأولى ولا تنتمي إلى المجموعة الثانية.

استثنينا  العنصرين ( محمد, مجد)  لأنهما ينتميان إلى كلٍ من المجموعة الأولى و المجموعة الثانية ولذلك فإن  تعريف فرق مجموعتين لا ينطبق عليهما.

عدد العناصر الناتج عن فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية  5))

يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى  ناقص نتيجة تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية:

عدد عناصر المجموعة الأولى هو 7 عناصر .

آ = (محمد , يوسف , يحيى , سامر , عبيدة , مجد , فراس )

نتيجة تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية:

آ∩ ب = ( محمد , مجد )  عنصرين 2 : و التقاطع كما ذكرنا في السابق هو مجموعة العناصر المشتركة بين مجموعتين .

الأن 7-2=5     .

P التأكد من صحة العملية :

n(A∕B)=n(A)-n(A∩B)

عدد عناصر المجموعة الناتجة عن فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية:

5  عناصر

يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى

7 عناصر   ناقص  تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية :

تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية عنصرين 2

7-2=5

إذاً  العملية صحيحة.

 

الآن أنشئ مجموعتين و طبق عليهما القاعدة السابقة .

 

 

P إذا كانت A مجموعةً جزئية من المجموعة B :

A⊂B

A هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة B

فما هو ناتج تقاطع المجموعة A مع المجموعة B ؟

A∩B

تقاطع مجموعتين هو العناصر المشتركة بينهما و بما أن المجموعة A هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة B فهذا يعني بأن جميع عناصر المجموعة A هي عناصر في المجموعة B كذلك , فهذا يعني بأن ناتج تقاطع المجموعة الجزئية A مع المجموعة الأم B  هو المجموعة الجزئية A  أو جميع عناصر هذه المجموعة.

A∩B=A

A تقاطع B = A

 

قاعدة :

إذا كانت المجموعة الأولى تنتمي إلى المجموعة الثانية أي إذا كانت المجموعة الأولى جزءاً من المجموعة الثانية , فإن نتيجة  تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية هو المجموعة الأولى (التي هي جزءٌ من المجموعة الثانية ).

A⊂B⟶A⋂B=A

إذا كانت المجموعة A مجموعةً جزئية ⊂ من المجموعة B  فإن ⟶  نتيجة تقاطع المجموعة A مع المجموعة B  هي المجموعة A .

مثال :

لتكن لدينا المجموعة الجزئية  ا  التي تتألف من العناصر :

ا=( محمد , مجد )

و لتكن لدينا المجموعة الأم  ب  التي تنتمي إليها المجموعة الجزئية ا و تشكل جزءاً منها و هذه المجموعة الأم تتألف من العناصر :

ب= ( محمد , مجد, يوسف, يحيى, عبيدة , سامر )

الآن  المجموعة  أ تنتمي إلى المجموعة  ب أي أنها جزءٌ منها , أي أن العنصرين الذين يشكلان  المجموعة ا  و هما ( محمد و مجد ) هما جزءٌ من المجموعة ب .

و هذا يعني بأن ناتج  تقاطع المجموعة ا مع المجموعة ب  هو المجموعة ا بأكملها , بمعنى أن العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين هما العنصرين ( محمد , مجد) الذين يشكلان المجموعة أ  التي هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة ب .

أ تقاطع ب = أ

أ ∩ ب = أ

 

الآن في هذه الحالة :

فإن عدد عناصر المجموعة الناتجة عن تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية يساوي عدد عناصر المجموعة الثانية .

و نعبر عن هذا الأمر بالصيغة الرياضية :

n(A∩B)=n(A)

عدد عناصر تقاطع ∩ المجموعة A مع المجموعة B  يساوي عدد عناصر المجموعة A .

تقاطع المجموعة آ مع المجموعة ب =  2  , العنصرين ( محمد , مجد)

عدد عناصر المجموعة الأولى    أ  هو 2  أي عنصرين ( محمد, مجد) .

2=2

العملية صحيحة.

 

Pفرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى ناقص ناتج تقاطع المجموعة الأولى من المجموعة الثانية.

و نعبر عن هذا الأمر بالصيغة التالية:

n(A∕B)=n(A)-n(A⋂B)

ترجمة هذه الصيغة:

فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى ناقص نتيجة تقاطع المجموعة الأولى من المجموعة الثانية.

الآن لنطبق هذه القاعدة على المثال السابق:

فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية : أي  مجموع العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الأولى ولا تنتمي إلى المجموعة الثانية :

لتكن لدينا المجموعة الأولى  أ و التي تتألف من العناصر :

أ= ( محمد, مجد ,سامر , يحيى, عزمي , يوسف )

و لدينا المجموعة الثانية و التي تتألف من العناصر :

ب= ( يحيى , عزمي, يوسف, فراس , فادي )

الآن أ  فرق ب = ( محمد, مجد , سامر)  أي ثلاثة عناصر .

أ / ب = ( محمد , مجد, سامر) = 3 =

عدد عناصر المجموعة الأولى – وهي هنا ستة عناصر  ( محمد, مجد ,سامر , يحيى, عزمي , يوسف )  ناقص نتيجة تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية .

تعلمون بأن تقاطع مجموعتين هو العناصر المشتركة بينهما :

أ تقاطع ب

أ ⋂ ب = ( يحيى, عزمي , يوسف)  =  3  عناصر .

الآن  6-3=3

عدد عناصر المجموعة الأولى ناقص نتيجة تقاطع المجموعة الأولى من المجموعة الثانية.

3 =3

القاعدة صحيحة .

óóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó

O رأينا سابقاً كيف أن العمليات على المجموعات تختلف عن العمليات على الأعداد فمثلاً عندما ندمج أو نضم مجموعتين تحويان عناصر مشتركة فيما بينهما فإننا لا نكرر ذكر تلك العناصر المشتركة مما يؤدي إلى أن تصبح نتيجة الجمع أقل من العناصر الداخلة في عملية الجمع .

مثال:

لدينا المجموعة الأولى أ  التي تتألف من العناصر :

أ= ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9)

و المجموعة  ب التي تتألف من العناصر  :

ب= (10،1,2,3,4,5,6,7,8,9)

ماهي نتيجة جمع المجموعة أ مع المجموعة ب ؟

إنها (10 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

لأننا لا نكرر العنصر الواحد مرتين عندما نقوم بجمع المجموعات .

 

غير أن هنالك حالة تتماثل فيها عملية جمع المجموعات مع عمليات الجمع الاعتيادية التي نقوم بها على الأعداد و ذلك عندما تكون نتيجة تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية هي الصفر أو المجموعة الخالية ∅ أي عندما لا تكون هنالك عناصر مشتركة بين هاتين المجموعتين , لماذا ؟

لأنه عندما لا تكون هنالك عناصر مشتركة فإننا نذكر كل عناصر المجموعتين موضوع عملية الجمع , كما في المثال التالي :

المجموعة الأولى أ :

أ= ( 1,2,3,4,5)

المجموعة ب :

ب= ( 6,7,8,9,10)

نتيجة جمع هاتين المجموعتين هي

(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

كانت نتيجة الجمع طبيعية لأنه لم تكن هنالك عناصر مكررة , كما في المثال السابق .

==============================================

تكون عملية  الفرق     بين المجموعات مماثلة لعمليات طرح الأعداد الاعتيادية إذا كانت المجموعة الأولى  تنتمي للمجموعة الثانية :

A⊂B

أي إذا كانت المجموعة الأولى جزءاً من المجموعة الثانية .

و كما تعلمون فإن  نتيجة فرق مجموعتين  هو مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الأولى ولا تنتمي إلى المجموعة الثانية .

فإذا كانت لدينا المجموعة A  تتألف من العناصر :

A={N,MQ,W,E,R,T}

و كانت لدينا المجموعة B التي تتألف من العناصر :

B={ Q,,W,E,R,T,O,P}

فإن  A فرق B  أي  A/B  تساوي  العنصرين N,M  لأن هذين العنصرين ينتميان إلى المجموعة الأولى ولا ينتميان إلى المجموعة الثانية .

 

Oو لكن عملية  فرق مجموعتين تصبح مماثلةً لعملية طرح الأعداد من بعضها البعض  عندما تكون المجموعة الثانية مجموعةً جزئية من المجموعة الأولى :

مثال :

لدي المجموعة الأولى  التي تتألف من مجموعة طيور المزرعة :

ط = ( بط , إوز , دجاج , حمام )

و لدي المجموعة م  التي تتألف من طيور المزرعة التي تستطيع الطيران :

م= (حمام )

الآن فإن المجموعة  الثانية  م  هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة الأولى :

الأن ما هي نتيجة فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثاني , أي ماهي العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الأولى ولا تنتمي إلى المجموعة الثانية؟

إنها ثلاثة عناصر وهي العناصر ( بط, إوز, دجاج)

إذاً : ط فرق م = (بط, إوز , دجاج ) .

ط/ م = (بط, إوز , دجاج) . 3 عناصر

الآن ماهي نتيجة طرح المجموعة الثانية من المجموعة الأولى ؟

(بط, إوز, دجاج, حمام) ناقص(حمام) = ( بط, إوز , دجاج ) .

ط – م = ( بط, إوز, دجاج)

إذا فإن ناتج عملية فرق مجموعتين يكون مماثلاً لناتج عملية الطرح في حال كانت المجموعة الثانية جزءاً من المجموعة الأولى .

اعتبرنا بأن  (حمام) ناقص (حمام) يساوي الصفر و كأننا نقول  5 ناقص 5  تساوي الصفر.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

O الجداء الديكارتي لمجموعتين و عملية الضرب :

الصيغة الرياضية  للجداء الديكارتي لمجموعتين :

كما رأينا فإن حاصل الجداء الديكارتي لمجموعتين هو جميع الثنائيات  التي يكون طرفها الأول عنصراً من المجموعة الأولى  بينما يكون طرفها الثاني عنصراً من المجموعة الثانية .

أي أنه جميع الثنائيات التي ينتمي طرفها الأول إلى المجموعة الأولى بينما ينتمي طرفها الثاني للمجموعة الثانية.

و الصيغة الرياضية لهذا الكلام هي :

A×B={ (Z,X) : Z𝜖 A and X∈B}

و ترجمة هذا الكلام :

إن  حاصل الجداء الديكارتي  للمجموعتين A و B  هو  مجموعة الثنائيات , مثل الثنائية   Z,X و التي تحقق الشرط أن  العنصر الأول Z ينتمي للمجموعة الأولى A بينما ينتمي العنصر الثاني X  إلى المجموعة الثانية  B .

 

مثالٌ عن الجداء الديكارتي لمجموعتين:

لنقل بأن لدينا المجموعة   آ    و تتألف من العناصر :

آ= (  محمد ,مجد)

و لدينا المجموعة   ب التي تتألف من العناصر :

ب= ( عمرو , طارق , نور  ) .

ما هو الجداء الديكارتي لهاتين المجموعتين ؟

نزاوج العنصر الأول من المجموعة الأولى و هو هنا ( محمد)  مع عناصر المجموعة الثانية فنحصل على الثنائيات التالية :

( محمد , عمرو ) , ( محمد ,طارق) , (محمد , نور )

الأن : نزاوج  العنصر الثاني من المجموعة الأولى  وهو هنا  ( مجد) مع عناصر المجموعة الثانية  فنحصل على الثنائيات التالية :

( مجد , عمرو ) , ( مجد ,طارق) , (مجد , نور )

الآن نقوم بتشكيل مجموعة تتألف من كل الثنائيات التي حصلنا عليها :

{( محمد , عمرو ) , ( محمد ,طارق) , (محمد , نور ) ( مجد , عمرو ) , ( مجد ,طارق) , (مجد , نور ) {

و هذه المجموعة التي حصلنا عليها هي حصيلة الجداء الديكارتي للمجموعتين    آ و ب .

 

الآن :

ما هو عدد عناصر المجموعة آ ؟

عنصرين اثنين  2

آ= (  محمد ,مجد)

ما هو عدد عناصر المجموعة الثانية ب ؟

ثلاثة عناصر .

ب= ( عمرو , طارق , نور  ) .

ما هو عدد عناصر المجموعة الناتجة عن جداء هاتين المجموعتين أي آ×ب؟

ستة عناصر   6

( محمد , عمرو ) , ( محمد ,طارق) , (محمد , نور ) ( مجد , عمرو ) , ( مجد ,طارق) , (مجد , نور )

2×3=6

إذاً :

إن عدد عناصر المجموعة الناتجة عن الجداء الديكارتي لمجموعتين تساوي  عدد عناصر المجموعة الأولى مضروباً في عدد عناصر المجموعة الثانية .

و الصيغة الرياضية لهذه القاعدة هي :

n(A×B)=n(A)×n(B)

أي أن عدد العناصر  في مجموعة حاصل الجداء الديكارتي للمجموعتين A و B  يساوي عدد عناصر المجموعة الأولى مضروباً في عدد عناصر المجموعة الثانية.

 

============================================================================================

 

Oمراجعة سريعة للعمليات على المجموعات:

Oتقاطع مجموعتين :

A∩B={A:A∈A∧A∈B}

ترجمة هذه الصيغة :

المجموعة A تقاطع المجموعة B  تساوي جميع عناصر المجموعة A التي تحقق شرط أنها  تنتمي إلى المجموعة A  , و جميع عناصر المجموعة A التي تنتمي كذلك إلى المجموعة B  .

أي أن تقاطع مجموعتين هي مجموعة العناصر المشتركة بين المجموعتين .

∩ تقاطع Intersection

:    التي تحقق الشرط

∧  و   and

∈   تنتمي إلى    element of

Oفرق مجموعتين:

A∕B={A:A∈A ∧ A∉B}

A فرق B  يساوي جميع عناصر المجموعة A التي تحقق الشرط أنها  تنتمي إلى المجموعة A و أنها لا تنتمي إلى المجموعة B .

فرق مجموعتين هي  مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الأولى ولا تنتمي إلى المجموعة الثانية .

∌  لا تنتمي

∖  فرق

∈ تنتمي

Oالجداء الديكارتي لمجموعتين:

A.B={(A,B):A∈A∧B∈B}

المجموعة A ضرب المجموعة B  تساوي  جميع الثنائيات التي تحقق الشرط أن العنصر الأول فيها ينتمي إلى المجموعة الأولى , بينما ينتمي العنصر الثاني فيها إلى المجموعة الثانية.

حاصل جداء مجموعتين , أو حاصل الجداء الديكارتي لمجموعتين هو مجموعة الثنائيات التي ينتمي عنصرها الأول إلى المجموعة الأولى بينما ينتمي عنصرها الثاني إلى المجموعة الثانية , و بمعنى أخر جميع الثنائيات (التي تتألف بالطبع من عنصرين) التي يمكن لنا أن نشكلها من عناصر هاتين المجموعتين و التي تحقق الشرط أن عنصرها الأول ينتمي إلى المجموعة الأولى بينما ينتمي عنصرها الثاني إلى المجموعة الثانية.

∧  =  و

 

اتحاد مجموعتين   ∪ Union    :

A∪B={A:A∈A ∨ A∈B}

اتحاد المجموعتين Aو B  يساوي جميع عناصر المجموعة A التي تحقق الشرط أنها تنتمي للمجموعة A  أو أنها تنتمي إلى المجموعة B .

∨ = أو
التي تحقق الشرط.

∈ تنتمي.

 

⇔⟺

 

O تذكر دائماً :

لا يجوز أبداً القول بأن مجموعةً ما هي أكبر أو أصغر من مجموعةٍ أخرى و لا يجوز أبداً مقارنة المجموعات من حيث أيها أكبر أو أيها أصغر.

**********************

تم بعون الله وحده

د.عمار شرقية

إذا أعجبتكم هذه الطريقة التحليلية في تقديم المعلومة  يمكنكم كذلك الاطلاع على : الرياضيات السحرية للأطفال (جزئين ) و ( القواعد التحليلية المبسطة للغة الإنكليزية ( 7  أجزاء) .