الرياضيات خطوة بخطوة –المجموعات و العناصر Sets and Elements- نظرية المجموعات set theory

بسم الله الرحمن الرحيم
الرياضيات خطوة بخطوة –المجموعات و العناصر Sets and Elements- نظرية المجموعات set theory
د.عمار شرقية
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

المجموعة هي ببساطة الإطار الذي يضم داخله عناصر تنتمي إليه فلأسرة هي مجموعة و أفراد الأسرة هم عناصر في تلك الأسرة و غرفة الصف مجموعة و التلاميذ داخلها هم عناصر في تلك المجموعة و النادي الرياضي مجموعة و اللاعبين الذين يلعبون لصالح ذلك النادي هم عناصر في تلك المجموعة و وكالة السيارات مجموعة و السيارات الموجودة في تلك الوكالة هي عناصر و المدجنة مجموعة بينما الدجاج الموجودة فيها عناصر و هكذا يمكننا أن نسرد آلاف الأمثلة عن المجموعات و العناصر.
نرمز عادةً للمجموعات بأحرف إنكليزية كبيرة بينما نرمز للعناصر التي توجد ضمن تلك المجموعات بأحرف إنكليزية صغيرة.
عندما ينتمي عنصرٌ ما لمجموعةٍ معينة فإننا نرمز لهذا الانتماء بالرمز ∈ .
و نستخدم هذا الرمز للدلالة على أن عنصراً ما ينتمي إلى مجموعةٍ ما :
a∈M
العنصر a ينتمي إلى المجموعة M .
مدرسة خالد بن الوليد∈ سامر
سامر ينتمي إلى مدرسة خالد بن الوليد.
و نعبر عن نفي الانتماء بالرمز ∉
a∉ M
العنصر a لا ينتمي للمجموعة M .
محمد ∉ مدرسة خالد بن الوليد
محمد لا ينتمي لمدرسة خالد بن الوليد .
■ لا تتغير ماهية المجموعة إذا تغير ترتيب عناصرها أو إذا تكرر أحد عناصرها .
مثال , لدينا المجموعات التالية :
A=(q,w,e)
B=(w,q,e)
C=(e,q,w)
D=(e,e,q,q,w,w)
A=B=C=D
جميع المجموعات السابقة هي مجموعاتٌ متساوية ذلك أن تكرار العناصر أو تغير ترتيبها داخل المجموعة لا يؤثر على ماهية المجموعة .

□مبدأ الامتداد the principle of extension في علم المجموعات :
و فقاً لهذا المبدأ فإن أي مجموعة يتم تحديدها و تعريفها بناءً على العناصر التي تحتويها تلك المجموعة و لذلك فإننا نعتبر أي مجموعتين بأنهما متساويتين إذا احتوتا على ذات العناصر .
□ التعبير عن المجموعة :
رأينا سابقاً بأن كل مجموعة تتحدد ماهيتها من خلال عناصرها المكونة و بالتالي فإننا نعرف أي مجموعة و نعبر عنها من خلال سرد العناصر الداخلة في تركيبها .
فنقول بأن المجموعة A مثلاً هي :
A=(1,2,3,4,5)
عرفنا المجموعة A عن طريق سرد العناصر المكونة لها وهي هنا الأعداد 1,2,3,4,5
و وضعنا عناصر المجموعة بين قوسين و فصلناها عن بعضها بواسطة فواصل.
ومن الممكن كذلك ان نعرف المجموعة من خلال ذكر خصائص عناصر تلك المجموعة فنقول مثلاً في تعريف مجموعة تحوي عدداً سلبياً و لتكن المجموعة N مثلاً بأنها :
N=(x:x negative number,x<0)
و تقرأ هذه الصيغة على الشكل التالي :
إن المجموعة N هي المجموعة التي تحوي العنصر x على اعتبار أن x هو عددٌ سلبي أصغر من الصفر .
لاحظ أننا وضعنا محتويات المجموعة بين قوسين.
النقطتين : تعنيان (حيث أو على اعتبار أن ) .
negative number عددٌ سلبي (أصغر من الصفر )
<0 أصغر من الصفر .
الفاصلة , تعني حرف العطف (و ) .
و هذا يعني بأن المجموعة N تضم جميع الأعداد السلبية .

مثال آخر :
C=(x:x is a letter in the English alphabet,x is a consonant)
إن المجموعة Cهي المجموعة التي تحوي العنصر x حيث أن العنصر x هو حرفٌ من حروف الأبجدية الإنكليزية كما أن العنصر x هو حرفٌ ساكن .
E اسم المجموعة ( حرف كبير )

حيث أن – على اعتبار أن
, الفاصلة : تعني ( و )
و هذا يعني بأن المجموعة E تضم جميع الأحرف الإنكليزية الساكنة :
E=( b,c,d,e,f,g,q,r,t,p,s,,k…..)
و هذا يعني بأن هذه المجموعة لا تتضمن الأحرف الصوتية :
A,e,o…..
vowels∉C
الأحرف الصوتية لا تنتمي إلى المجموعة C .

■ المجموعة الشاملة universal set :
في كل مجالٍ من المجال فإن جميع العناصر التي يختص ذلك المجال بالتعامل معها تنتمي إلى مجموعةٍ كبرى تدعى بالمجموعة الشاملة the universal set فعلى سبيل المثال فإن مجموعة تلاميذ العالم هي مجموعةٌ شاملة تضم جميع تلاميذ العالم و مجموعة الأحرف هي مجموعةٌ شاملة تضم جميع أبجديات العالم و مجموعة الأعداد هي مجموعةٌ شاملة تضم جميع الأعداد سواءً أكانت موجبة أو سالبة فرديةً أو زوجية و مجموعة السيارات تضم جميع أنواع و أصناف السيارات و هكذا .
أحياناً يرمز للمجموعات الشاملة بالحرف U .

■ المجموعة الخالية – المجموعة المنعدمة العناصر Empty set – null set :
المجموعة الخالية هي مجموعة منعدمة العناصر أي انها لا تحوي أي عنصر و يرمز لهذه المجموعة بالرمز ∅ .
و فقاً لنظرية المجموعات فإن هنالك مجموعة خالية وحيدة مهما تغيرت أسماؤها و بالتالي فإن جميع المجموعات الخالية متساوية لأنها لا تحوي أية عناصر كما أن جميع المجموعات الخالية هي في النهاية مجموعةٌ واحدة عديمة العناصر .

■ المجموعة الجزئية subset :
تعرف المجموعة الجزئية في الحياة بأنها مجموعة تشكل جزءاً من مجموعة أخرى أكبر منها .
إن العلاقة ما بين مجموعةٍ ما و مجموعة جزئية منها تعرف بأنها علاقة تضمن inclusion .
و في علم المجموعات إذا كان لدينا المجموعتين A و B و كانت عناصر المجموعة Aموجودة كذلك ضمن المجموعة B فإننا ندعوا المجموعة A بأنها مجموعةً جزئية من المجموعة B .
مثالٌ :
لنفترض بأن لدينا المجموعة ش و تحوي أشهر السنة الهجرية :
ش = ( محرم, صفر, ربيع الأول, ربيع الآخر , جمادى الأولى , جمادى الآخر, رجب , شعبان, رمضان , شوال, ذو القعدة , ذو الحجة)
و انه كانت لدينا المجموعة ح و تحوي الأشهر الحرم :
ح = ( محرم, رجب, ذو القعدة , ذو الحجة )
فهذا يعني بأن المجموعة ح أي مجموعة الأشهر الحرم هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة ش وهي مجموعة اشهر السنة الهجرية ذلك أن جميع أشهر المجموعة ح أو مجموعة الأشهر الحرم هي موجودةٌ كذلك في المجموعة ش وهي مجموعة أشهر السنة الهجرية.
لنفترض بأنه كان لدينا المجموعة ي و لتكن مجموعة أيام الأسبوع :
ي = ( سبت , أحد , اثنين, ثلاثاء, أربعاء, خميس, جمعة )
و لتكن لدينا المجموعة ع وهي مجموعة أيام العطلة :
ع= ( الجمعة, السبت)
نلاحظ بأن جميع عناصر المجموعة ع أي مجموعة أيام العطلة موجودةٌ كذلك في المجموعة ي وهي مجموعة أيام الأسبوع وهذا يعني بأن المجموعة ع أي مجموعة أيام العطلة هي مجموعة ٌجزئية من مجموعة أيام الأسبوع أي أننا لو أحطنا عنصري أيام العطلة بدائرة فإننا سنحصل على مجموعة جزئية داخل المجموعة الأم .
□ ارسم دائرة واكتب داخلها أسماء أيام الأسبوع فتحصل بذلك على مجموعة أيام الأسبوع – الآن أحط يومي العطلة بدائرة فتحصل على مجموعة صغرى داخل مجموعة أيام الأسبوع وهي المجموعة الجزئية .
□ ارسم دائرة اكتب داخلها اسماء الأشهر الهجرية فتحصل على مجموعة أشهر السنة الهجرية – أحط الأشهر الحرم بدائرة فتحصل على دائرة صغرى داخل دائرة أشهر السنة الهجرية وهذه الدائرة الصغرى تمثل مجموعةً جزئية .
□ اكتشف المزيد من المجموعات الجزئية من حولك .
□ يرمز للمجموعة الجزئية بهذا الرمز ⊂ .
□ يرمز للمجموعة الكبرى superset بهذا الرمز ⊃ .
فإذا صادفتنا عبارة تقول :
A⊂B
فهي عبارة تعني بان المجموعة A هي مجموعةً جزئية من المجموعة B وانها محتواةٌ في تلك المجموعة .
و إذا صافتنا عبارة :
B⊃A
فإنها تعني بأن المجموعة B هي مجموعةٌ أم للمجموعة A و أن المجموعة B تحوي المجموعة A .

□ تحدثنا سابقاً عن الحالة التي يكون لدينا فيها مجموعةٌ كبرى ( مثل مجموعة أيام الأسبوع ) و مجموعة صغرى تكون موجودةً ضمن تلك المجموعة الكبرى ( مجموعة أيام العطلة الأسبوعية ) .
و لكن يمكن أن تكون لدينا مجموعتين تحويان العناصر ذاتها كما في المثال التالي :
س= ( نور , سامر , عمر )
ع= ( عمر , سامر, نور)
و كما مر معنا سابقاً فإن ماهية كل مجموعة تتحدد وفقاً لماهية العناصر التي تحتويها , بمعنى أن عناصر المجموعة هي التي تحدد ماهية تلك المجموعة , و بما أن كلاً من المجموعتين السابقتين تحويان العناصر ذاتها بلا زيادة ولا نقصان , فإن هذا يعني ببساطة أن كلتا المجموعتين متساويتين .
و في الوقت ذاته فإننا نقول بأن كل مجموعة من هاتين المجموعتين هي مجموعةً جزئية من المجموعة الثانية وذلك لأن عناصر كلٍ من هاتين المجموعتين موجودة في المجموعة الأخرى .
□ إذا كان لدينا مجموعتين تحويان العناصر ذاتها فهذا يعني بأن هاتين المجموعتين متساويتين , و في الوقت ذاته فإن ذلك يعني بأن كلاً من هاتين المجموعتين هي مجموعةٌ جزئيةً من المجموعة الثانية لأن عناصر كلاً منهما موجودةً في المجموعة الأخرى.
و في هذا الشكل من أشكال العلاقة بين مجموعتين نستخدم الرمز ⊆ لدلالة على أن إحدى هاتين المجموعتين هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة الثانية و أنها تساويها في الوقت ذاته , كما نستخدم الرمز ⊇ للدلالة على أن إحدى هاتين المجموعتين هي مجموعةٌ أم للمجموعة الثانية أي أنها تشمل المجموعة الثانية و في الوقت ذاته فإنها تساويها.
س= ( نور , سامر , عمر )
ع= ( عمر , سامر, نور)
س=ع
س⊆ع : المجموعة س تساوي المجموعة ع كما انها مجموعةٌ جزئيةٌ منها .
ع⊆س : المجموعة ع تساوي المجموعة ع كما أنها مجموعةٌ أم تضم المجموعة س في الوقت ذاته .

□ كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها .
B ⊆ B
المجموعة B تساوي نفسها كما أنها مجموعةٌ جزئية من نفسها لأننا إذا تصورنا بأن هنالك نسخةً طبق الأصل منها فإنها بالطبع ستكون مساويةً لها و ستحوي العناصر ذاتها و بالتالي فإنها ستكون مجموعةً جزئيةً منها .
□ المجموعة الخالية ϕ هي مجموعة جزئية من كل مجموعة : يعتبر الرياضيين بأن العدم موجودٌ في كل شيء و بالتالي فإنه جزءٌ من كل شيء .
■ كل مجموعة هي مجموعة جزئية من المجموعة الشاملة U : على سبيل المثال فإن مجموعة سيارات المرسيدس هي مجموعة جزئية من المجموعة الشاملة التي تضم جميع أصناف السيارات و مجموعة حيوانات المزرعة هي مجموعة جزئية من المجموعة الشاملة التي تضم جميع حيوانات العالم .
□ إذا طلب منا أن نذكر المجموعات الجزئية التي تضمها مجموعةٌ ما فإننا دائماً نذكر المجموعة الخالية ( لأن المجموعة الخالية هي جزءٌ من كل مجموعة) ثم نذكر اسم المجموعة ذاتها ( لأن كل مجموعة هي مجموعةٌ جزئيةٌ من نفسها ) , ثم نذكر بقية المجموعات الجزئية التي تضمها تلك المجموعة .
□المجموعة A تساوي المجموعة B في حال كانت المجموعة A مجموعةً جزئية من المجموعة B و في حال كانت المجموعة B كذلك مجموعةً جزئية من المجموعة A في الوقت ذاته , و بالتالي تتحقق لدينا فكرة أن هاتين المجموعتين متساويتين , كما أن كلاً منهما هي مجموعةٌ جزئية من الأخرى :
A=B فقط في حال كانت : A⊇B و كانت B A⊆ .
أي أن المجموعتين A و B هما مجموعتين متساويتين في حالةٍ واحدة وهي أن تكون المجموعة الأولى مجموعةً جزئية من المجموعة الثانية و أن تكون المجموعة الثانية مجموعةً جزئية من المجموعة الأولى , أي أن تكون كلاً من هاتين المجموعتين مجموعةً جزئيةً من المجموعة الثانية .
□ العلاقة المتعدية و المجموعات :
نعني بالعلاقة المتعدية أن تقيس شيئاً ثالثاً بطريقةٍ غير مباشرة بناءً على علاقته بشيءٍ ثاني تعرفه :
فإذا كان محمد بعمر سامر و كان سامر بعمر نور فهذا يعني بأن محمد بعمر نور و
إذا كان A صديقٌ لعدوك B الذي يظهر العداوة لك بشكلٍ صريح فهذا يعني بأن A هو عدوٌ لك كذلك و إن لم يظهر لك العداوة بشكلٍ صريح .
فإذا كان هنالك الطرف A الذي يدعي صداقتك بينما هو صديقٌ لعدوك B فهذا يعني ← بأن A الذي يدعي صداقتك ليس إلا عدوٌ لك .
و إذا عرفنا بأن A مثلاً هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة B و أن المجموعة B هي بدورها مجموعةٌ جزئية من المجموعة C فهذا يعني بأن المجموعة A هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة C .
فإذا كانت A مجموعةً جزئية من المجموعة B :
B A⊆
و إذا كانت B مجموعةً جزئية من المجموعة C :
C B⊆
فهذا يعني بأن المجموعة A هي كذلك مجموعةٌ جزئية من المجموعة C :
C A⊆

□ لا تتحقق المساوة بين مجموعتين إلا إذا كانت كلٌ منهما مجموعة جزئيةً من الأخرى و لذلك نقول بأن المجموعة A تساوي المجموعة B A=B : فقط في حال كانت هنالك علاقة تبادلية بين هاتين المجموعتين أي في حال كانت المجموعة A مجموعةً جزئيةً من المجموعة B :
A⊆B
و في حال كانت B كذلك مجموعةً جزئية من المجموعة A
B⊆A
مثال عملي :
لدينا المجموعة س التي تحوي العناصر :
س= ( سامر , نور, عمر , مجد , محمد ) و لددينا المجموعة ع التي تحوي العناصر :
ع= (سامر , نور, عمر, مجد , محمد)
إن كلاً من هاتين المجموعتين هي مجموعة جزئية من المجموعة الأخرى فالمجموعة س هي مجموعة جزئية من المجموعة ع و كذلك فإن المجموعة ع هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة س , لماذا ؟
لأنهما تحويان العناصر ذاتها .
إن المجموعتين س و ع هما مجموعتين متساويتين , لماذا ؟
لأن كلاً منهما مجموعةٌ جزئية من المجموعة الأخرى .

■ الآن ماذا لو كانت المجموعة الأولى مجموعةً جزئية من المجموعة الثانية و لكن لم تكن المجموعة الثانية مجموعةً جزئيةً من المجموعة الأولى :
ماذا لو كانت المجموعة A مجموعةً جزئيةً من المجموعة B .
A⊆B
و لكن المجموعة B لم تكن مجموعةً جزئيةً من المجموعة A :
B⊈A
في حال كانت إحدى المجموعتين فقط مجموعةً جزئيةً من المجموعة الثانية بينما لم تكن المجموعة الثانية مجموعةً جزئيةً من المجموعة الأولى فهذا يعني بأن هاتين المجموعتين ليستا مجموعتين متساويتين و عندها نقول بأن المجموعة A هي مجموعةٌ جزئيةٌ حقيقية Proper subset من المجموعة B , و نعبر عن هذه العلاقة بالشكل التالي :
A⊂B
□ إن الرمز ⊆ يتضمن معنى ان تكون مجموعة جزئية من مجموعةٍ ما و يتضمن معنى المساواة كذلك بمعنى أنه يعني أن كلاً من المجموعتين هما مجموعتين جزئيتين من بعضهما البعض لأنهما تتضمنان العناصر ذاتها , أما الرمز ⊂ فيحمل معنى أن إحدى المجموعتين فقط هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة الثانية بينما المجموعة الثانية هي مجموعة أم تتضمن المجموعة الأولى , أي أنهما ليستا مجموعتين متساويتين لأن إحداهما مجموعةٌ كبرى بينما الثانية مجموعةٌ صغرى .
مثالٌ توضيحي :
المجموعة ح تتضمن عدداً من الحيوانات اللاحمة :
ح = ( قطة , كلب, فهد, نمر , ذئب, ثعلب, ضبع )
المجموعة م تتضمن الحيوانات الأليفة اللاحمة :
م= ( قطة , كلب)
في المثال السابق المجموعة (م) أي مجموعة الحيوانات الأليفة اللاحمة هي مجموعةٌ جزئية من المجموعة (ح) أي مجموعة الحيوانات اللاحمة , و لكن المجموعة ح ليست مجموعةً جزئيةً من المجموعة م و سبب ذلك أن المجموعتين ليستا مجموعتين متساويتين ذلك أنهما لا تحويان العدد ذاته من العناصر ولذلك نقول بأن المجموعة م هي مجموعة جزئية حقيقية من المجموعة ح :
⊂ح م

مخطط فن – Venn diagram :
ينسب مخطط فن إلى الإنكليزي جون فن ( John Venn (1834-1923 يستخدم مخطط فن في فرع الرياضيات الذي يعرف بنظرية المجموعات set theory و ذلك لإظهار العلاقة بين المجموعات و العناصر – يتم تمثيل مخطط فن على شكل دوائر تتوضع بعضها ضمن الدوائر الأخرى لتمثيل المجموعات الجزئية التي تتوضع داخل مجموعاتٍ أم حيث تمثل الدائرة الكبيرة المجموعة الأم بينما تمثل الدائرة الصغيرة التي تتوضع داخل الدائرة الكبيرة المجموعة الجزئية – مثال :
يمكننا أن نصور مثال الحيوانات اللاحمة و الحيوانات اللاحمة الأليفة وفق مخطط فن بأن نرسم دائرة كبيرة نكتب داخلها أسماء الحيوانات اللاحمة ثم نحيط اسماء الحيوانات اللاحمة الأليفة (القطة و الكلب) بدائرة صغيرة فنحصل بذلك على دائرة صغيرة تمثل المجموعة الجزئية تقع ضمن الدائرة الكبيرة التي تمثل الحيوانات اللاحمة.
كما يتم تصوير علاقة المجموعات ببعضها البعض وفق مخطط فن على شكل دائرتين أو أكثر متداخلتين بشكلٍ جزئي ( كما تتداخل الدوائر التي ترمز للألعاب الأولمبية) حيث تمثل وتحوي الأجزاء المتداخلة العناصر المشتركة بين المجموعات المختلفة .
فإذا كان سامر و عمر تلميذين في الصف و كانا كذلك لا عبين في فريق رياضي فإن العنصرين المشتركين بين مجموعة تلاميذ الصف و بين مجموعة لاعبي الفريق الرياضي هما سامر و عمر و بالتالي إذا مثلنا ذلك الأمر و فق مخطط فن فإننا نرسم دائرتين متداخلتين الأولى نكتب فيها أسماء تلاميذ الصف بينما نكتب في الثانية أسماء لا عبي الفريق الرياضي و داخل القطاع المشترك intersection بين هاتين الدائرتين نكتب اسمي سامر و عمر .
يتم تمثيل المجموعة الكونية (المجموعة الشاملة) universal set و فق مخطط فن على شكل مستطيل .
Venn diagram
□ اتحاد مجموعتين The union of two sets :
اتحاد مجموعتين هو مجموعةٌ جديدة تحوي جميع العناصر التي تنتمي إلى واحدة من المجموعتين المتحدتين على الأقل .
يرمز لاتحاد مجموعتين بالرمز U :
A U B
المجموعة A اتحاد المجموعة B .
□ تقاطع مجموعتين The intersection of two sets هو مجموعةٌ جديدة تحوي جميع العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين .
يرمز لتقاطع مجموعتين بالرمز ∩ .
A ∩B
A تقاطع B
ما يعبر أحياناً عن التقاطع بعبارة :
A and B
A و B

مثال توضيحي :
لتكن لدينا المجموعتين A و B .
A=(1,2,3,4)
B=(4,5,6,7,8)
ما هو تقاطع هاتين المجموعتين مع بعضهما البعض؟
أي ما هو العنصر المشترك أو ماهي العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين ؟
بالطبع فإن العنصر المشترك بين هاتين المجموعتين هو العدد 4 و لذلك نقول بأن تقاطع المجموعة A مع المجموعة B يعطينا مجموعة ثالثة هي المجموعة AB وهذه المجموعة تحوي العنصر المشترك بين هاتين المجموعتين.
A∩B⟶ AB=(4)
□ في علم المجموعات لا يذكر العنصر الواحد إلا مرةً واحدة فقط , مع أن العدد 4 موجود في كلا المجموعتين فإننا ذكرناه مرةً واحدة .
الان ما هي نتيجة اجتماع أو اتحاد هاتين المجموعتين مع بعضهما البعض ؟
إنها مجموعة جديدة تحوي جميع العناصر الموجودة في كلتا هاتين المجموعتين .
AUB=(1,2,3,4,5,6,7,8)
اتحاد المجموعة A مع المجموعة B يعطينا مجموعةً ثالثة تحوي جميع العناصر الموجودة في كلتا هاتين المجموعتين .

□ مثال توضيحي :
لتكن لدينا المجموعة ص التي تحوي تلاميذ الصف :
ص= ( سامر, نور, عمر, مجد , محمد , طارق, خالد, يوسف )
و لتكن لدينا المجموعة ر التي تحوي الفريق الرياضي للمدرسة :
ر = ( سامر , نور , عبيدة, يزن , أسامة )
ما هو تقاطع المجموعة ص مع المجموعة ر ؟
إنه العناصر المشتركة بين المجموعتين أي سامر و نور فنقول :
ص ∩ ر = (ص ر ) = ( سامر , نور )
تقاطع المجموعة ص مع المجموعة ر يعطينا المجموعة المشتركة (ص ر ) و التي تتألف من العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين أي سامر و نور .
ما هي نتيجة اتحاد المجموعتين ص و ر مع بعضهما البعض ؟
إن نتيجة اتحاد هاتين المجموعتين هو مجموعةً ثالثة تحوي جميع عناصر هاتين المجموعتين .
صu ر = ( سامر, نور, عمر, مجد , محمد , طارق, خالد, يوسف , عبيدة, يزن , أسامة )
تقاطع المجموعة ص مع المجموعة ر هو مجموع العناصر الموجودة في كلتا هاتين المجموعتين .
□ في علم المجموعات لا نكرر ذكر العنصر أكثر من مرة واحدة ومن الخطأ أن تكرر ذكر العنصر الواحد أكثر من مرةٍ واحدة )
■ إذا اختلط عليك الأمر في الامتحان ما بين رمز الاتحاد و رمز التقاطع تذكر دائماً بأن رمز الاتحاد هو حرف U كبير وهو الحرف الأول من كلمة Union (اتحاد) .

□ رمز التقاطع Intersection هو حرف U مقلوب رأساً على عقب upside down ∩ .

□ الصيغة الرياضية لاتحاد مجموعتين :
AUB=(x:x ∈A or x∈B)
إن اتحاد المجموعتين A و B يساوي مجموعة العناصر X التي تحقق الشرط أنها تنتمي إلى المجموعة A أو انها تنتمي إلى المجموعة B .
أي أن ناتج اتحاد المجموعتين A و B مع بعضهما البعض هو مجموعة تضم عناصر x تحقق الشرط أنها إما أن تنتمي إلى المجموعة A أو أن تنتمي إلى المجموعة B .
مثال عملي :
عندما اتحدت المانيا الشرقية مع ألمانيا الغربية كان ناتج ذلك الاتحاد مجموعة ( دولة) يحقق عناصرها x (مواطنوها ( شرط انهم إما أنهم كانوا ينتمون إلى ألمانيا الشرقية (المجموعة الأولى) أو أنهم كانوا ينتمون إلى ألمانيا الغربية (المجموعة الثانية) – أي أنك إذا نزلت إلى شوارع ألمانيا بعد أن حققت الاتحاد بين شطريها فإنك ستجد سكاناً بعضهم شرقيين و بعضهم غربيين .

□ الصيغة الرياضية لتقاطع مجموعتين :
A∩B=(x:x∈A &x∈B)
إن تقاطع المجموعة A مع المجموعة B يساوي أو ينتج المجموعة التي تحوي العنصر مجموع العناصر x و التي تحقق الشرط أنها تنتمي لكلٍ من المجموعة A و المجموعة B على حدٍ سواء .
ينتمي ∈

بحيث أن – يحقق الشرط
& و AND
أي ان تقاطع مجموعتين هو المجموعة التي تحوي العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين و العنصر الذي لا يحقق شرط الانتماء لكلتا المجموعتين المتقاطعتين لا يمكن أن يكون ضمن ناتج تقاطع تلك المجموعتين .
مثال عملي :
ما هو ناتج تقاطع أرمينية مع لبنان ؟
إن ناتج تقاطع أرمينية ( المجموعة الأولى ) مع لبنان (المجموعة الثانية ) هي المجموعة التي تحوي العنصر أو مجموع العناصر x و التي تحقق الشرط انها تنتمي لكلٍ من المجموعة الأولى ( أرمينية) و المجموعة الثانية ( لبنان) أي أن ناتج ذلك التقاطع هو الجالية الأرمنية في لبنان .
□ تذكر دائماً أن تقاطع خطين هو النقطة المشتركة التي يلتقي فيها هذين الخطين .
□ إذا كان ناتج تقاطع مجموعتين هو المجموعة الخالية بمعنى انه إذا كان ناتج تقاطع مجموعتين هو الصفر أي أنه لم تكن هنالك أية عناصر مشتركة بينهما فهذا يعني بأن هاتين المجموعتين هما مجموعتين منفصلتين عن بعضهما البعض على مخطط فن أي أننا إذا قمنا برسم مجموعتين لا توجد عناصر مشتركة بينهما فإننا نقوم برسمهما على شكل دائرتين بعيدتين عن بعضهما البعض و نعبر رياضياً عن المجموعتين التين لا توجد عناصر مشتركة بينهما بالصيغة التالية :
A ∩B=Φ
رمز التقاطع ∩
Φ المجموعة الخالية (العدم) أو الصفر .

□ إذا كان :
AUB=A ,A∩B=A⟶A⊆B
إذا كانت نتيجة اتحاد المجموعة A مع المجموعة B هي المجموعة A و إذا كان ناتج تقاطع المجموعة A مع المجموعة B هو المجموعة A فهذا يعني بأن المجموعة A هي مجموعة جزئية مساوية للمجموعة B .
مثال توضيحي :
A=(1,2,3)
B=(1,2,3)
AUB=(1,2,3)
إذا كانت المجموعة A تحوي العناصر (1,2,3) و كانت المجموعة B تحوي العناصر (1,2,3) فإن اتحاد المجموعتين A و B يعطي المجموعة A .
لماذا :
(1,2,3)+(1,2,3) =(1,2,3)
و ليس (1,1,2,2,3,3)
لأنه في علم المجموعات لا يجوز أبداً أن نكرر ذكر عنصر ما في مجموعة واحدة .
الآن إذا كان اتحاد المجموعة A مع المجموعة B هو المجموعة A فهذا يعني بأن المجموعة B لا تحوي أي عنصر غير موجود في المجموعة A , بمعنى أنه إذا كانت المجموعة A تحوي العناصر ( مجد , نور ) و أجرينا اتحاد بينها و بين المجموعة B و كانت نتيجة ذلك الاتحاد (مجد, نور ) كذلك , أي المجموعة A ذاتها فهذا يعني بأن المجموعة B لا تحوي أي عنصرٍ غير موجود في المجموعة A , فلو كانت المجموعة B تحوي العناصر ( مجد, نور , سامر ) لكانت نتيجة اتحادها مع المجموعة A ( مجد, نور , سامر ) أي لكان هنالك عنصرٌ زائد وهو العنصر سامر و عندها لا يمكننا القول بأن اتحاد المجموعة A مع المجموعة B يعطي المجموعة A .
و لكن من الممكن أن تكون المجموعة B أقل من المجموعة A , فلو كانت المجموعة B تحوي عنصراً واحداً هو العنصر نور لكانت نتيجة اتحادها مع المجموعة A مساوية للمجموعة A :
( مجد , نور ) + ( نور ) = ( مجد, نور)
□لا يذكر أي عنصر إلا مرة واحدة في المجموعة فلا يجوز أن نقول ( مجد, نور, نور ) .
النتيجة التي توصلنا إليها حتى الآن هي أنه من الممكن أن تكون المجموعة B مساوية للمجموعة A أو أصغر منها , ولكن لاستبعاد احتمال أن تكون المجموعة B أصغر من المجموعة A فقد ورد في الصيغة السابقة أن تقاطع المجموعة A مع المجموعة B هو المجموعة A .
A∩B=A
فلو كانت المجموعة B تحوي عنصراً واحداً هو العنصر مجد فقط لما كانت نتيجة تقاطعها مع المجموعة A مساوية للمجموعة A :
( نور, مجد) ∩ ( مجد ) = (مجد )
(نور , مجد) تقاطع( مجد) = ( مجد) , ذلك أن مجد هو العنصر المشترك بين هاتين المجموعتين , و لكنه بما انه قال لنا بأن تقاطع المجموعتين A و B مع بعضهما البعض يساوي المجموعة A فهذا يعني بأن جميع عناصر المجموعتين هي عناصر مشتركة بينهما أي أن المجموعتين تحويان العناصر ذاتها.
( نور, مجد) تقاطع ( نور, مجد) = ( نور, مجد)
( نور, مجد) ∩ ( نور , مجد) = ( نور , مجد)
A∩B=A
و هذا يعني في النهاية بأن المجموعة A مجموعة جزئية مساوية للمجموعة B .
A⊆B

ذكرت سابقاً بأن كل مجموعة تنتمي إلى مجموعة شاملة تضم كل العناصر التي تتسم بذات صفات عناصر المجموعة , على سبيل المثال فإن مجموعة تلاميذ مدرسة معينة تنتمي إلى مجموعة شاملة تضم كل تلاميذ العالم و مجموعة الرياضيين في نادي رياضي معين تنتمي إلى مجموعةٍ شاملة تضم كل رياضيي العالم و مجموعة الحيوانات في حديقة حيوانات معينة تنتمي إلى مجموعة شاملة تضم كل حيوانات العالم و مجموعة النباتات الموجودة في حديقة ما تنتمي في النهاية إلى مجموعة شاملة تضم كل نباتات العالم .

□ المتممات المطلقة absolute complements :
يرمز للمتمم المطلق بحرف A مرفوع للقوة c على الشكل التالي : Ac
□ المتممات المطلقة للمجموعة الشاملة هي المجموعة الخالية :
'U=∅
لماذا ؟ لأنه لا توجد أية عناصر خارج المجموعة الشاملة -كل العناصر تنتمي للمجموعة الشاملة .
□ ما هي المتممات المطلقة للمجموعة الغالية ؟
المتمم المطلق للمجموعة الخالية هو المجموعة الشاملة ؟
∅=U
لماذا ؟
لأن المجموعة الخالية لا تحوي أية عناصر و بالتالي فإن جميع العناصر تقع خارجها و تنقصها إذا أردنا أن نتمم المجموعة الخالية بحيث تضم داخلها جميع العناصر فهذا يعني بأنه يتوجب علينا أن نضم إليها جميع العناصر , و انتم تعلمون بأن جميع العناصر تنتمي إلى المجموعة الشاملة و بالتالي فإن المجموعة الشاملة هي متمم المجموعة الخالية .
تصور لو كان هنالك شخصين أحدهما ثري يمتلك كل شيء بينما الآخر فقير لا يمتلك أي شيء فإذا أردنا أن نعطي الشخص الفقير (المجموعة الخالية) كل ما ينقصه فإن علينا أن نعطيه ثروة الشخص الغني (المجموعة الشاملة) , و إذا بحثنا عما ينقص الشخص الثري من ثروة (المجموعة الشاملة) فإننا نجد بأنه لا ينقصه شيء , أي أن ما ينقصه هو اللا شيء أو العدم أو المجموعة الخالية ∅ (ما يمتلكه الشخص الفقير).
في علم المجموعات فإن متمم المجموعة A هو جميع العناصر التي لا توجد في المجموعة A .
إن المتمم المطلق للمجموعة A هو جميع العناصر الموجودة في المجموعة الشاملة U و الغير موجودة في المجموعة A .

التعريف الرياضي للمتمم المطلق :
AC=(x:x ∈U ,x∉A)
إن المتمم المطلق للمجموعة Ac هو العنصر أو مجموع العناصر x التي تحقق الشرط أنها تنتمي إلى المجموعة الشاملة U وأنها لا تنتمي للمجموعة A .
AC : المتمم المطلق للمجموعة A .
بحيث ان , على اعتبار أن .
∉ لا ينتمي .

المكمل المطلق لمجموعةً ما هو العنصر أو مجموعة العناصر التي تنتمي للمجموعة الشاملة و لا تنتمي لتلك المجموعة .
لنفترض بأنك تهوى جمع الطوابع البريدية أو أنك تهوى جمع العملات القديمة و بالطبع ستكون لديك مجموعة طوابع بريدية أو مجموعة عملاتٍ قديمة و يمكن أن ندعو مجموعتك تلك بالمجموعة A مثلاً و من الطبيعي أن تكون مجموعة الطوابع التي تمتلكها أنت مجموعةً ناقصة و محدودة – إن مجموعة الطوابع أو مجموعة العملات القديمة الكاملة التي تضم جميع طوابع العالم أو جميع عملات العالم القديمة تدعى بالمجموعة الشاملة U .
ماهي كمية الطوابع أو العملات القديمة التي تحتاجها حتى تكتمل مجموعتك من الطوابع أو العملات القديمة ؟
إنها بالطبع جميع الطوابع أو جميع العملات القديمة التي لا تضمها مجموعتك .
كما أنها في الوقت ذاته الطوابع أو العملات التي تنتمي إلى المجموعة الشاملة U التي تضم جميع الطوابع أو جميع العملات القديمة .
و هذا يعني بأن ما تحتاجه لإكمال مجموعتك موجودٌ في المجموعة الشاملة U و غير موجودٍ في مجموعتك A , و هذا المقدار الناقص و الذي يكفي لإتمام النقص في مجموعتك هو ما يدعى بالمتمم المطلق للمجموعة AC .

□ المتمم النسبي The relative complement أو فرق مجموعتين difference of sets:
المتمم النسبي للمجموعة أو فرق المجموعتين A و B هو جميع العناصر الموجودة في المجموعة A و الغير موجودة في المجموعة B .
A-B
و ببساطة فإن المتمم النسبي هو الفرق بين مجموعتين أو أنه ببساطة أشد حاصل طرح مجموعة من المجموعة الأخرى.
يرمز للفرق بين مجموعتين بخطٍ مائل \ .
□ التعريف الرياضي للمتمم النسبي :
A\B=(x:x∈A,x∉B)
فرق \ المجموعتين A و B أو الفرق بين المجموعتين A و B أو A فرق B يساوي العنصر أو مجموعة العناصر x التي تحقق الشرط : أنها تنتمي للمجموعة A و أنها لا تنتمي للمجموعة B .
\ فرق
بحيث , أو التي تحقق الشرط
∈تنتمي
, و
∉ لا تنتمي .
المتمم النسبي أو الفرق بين مجموعتين هو العنصر أو مجموعة العناصر التي تنتمي للمجموعة الأولى ولا تنتمي للمجموعة الثانية .
نقرأ علاقة الفرق بين مجموعتين A\B A فرق B أو A ناقص B .
□ مثال توضيحي :
A=(S,D,F,G,H,J)
B=(D,F,G,H,J)
A\B=(S)
A فرق B أو A ناقص B يساوي العنصر S لأنه العنصر الموجود في المجموعة A و الغير موجود في المجموعة B .
A\B=A-B
الفرق عملية طرح اعتيادية .
□ دعي المتمم النسبي بهذا الاسم تمييزاً له عن المتمم المطلق لأنه يختص بالنقص الموجود في مجموعة ٍ ما بالنسبة لمجموعةٍ ثانية و ليس بالنسبة للمجموعة الشاملة و لو عدنا لمثال مجموعة الطوابع البريدية فلو كانت لديك مجموعة طوابع و لتكن A و كان لدى صديقك مجموعة طوابع B فإن المتمم النسبي يختص فقط بالطوابع الموجودة في مجموعتك و الغير موجودة في مجموعة صديقك , أي الطابع أو مجموعة الطوابع التي تنقص مجموعة صديقك حتى تصبح مماثلةً لمجموعتك, أي أن المتمم النسبي يبحث في النقص الموجود في مجموعةٍ ما بالنسبة لمجموعةٍ أخرى غير المجموعة الشاملة.

□ الفرق المتناظر Symmetric difference ⨁ :
راينا سابقاً بأن فرق مجموعتين هو العنصر أو العناصر التي تنتمي للمجموعة الأولى و التي لا تنتمي للمجموعة الثانية -أي العناصر التي توجد في المجموعة الأولى و لا توجد في المجموعة الثانية .
و لكن هنالك مفهومٌ أكثر شمولاً من مفهوم الفرق بين مجموعتين و أكثر شمولاً من مفهوم المتمم النسبي حيث يتناول هذا المفهوم مجموعة العناصر التي توجد في مجموعة واحدة من المجموعتين ولا توجد في الأخرى .
الفرق المتناظر بين مجموعتين هو مجموع العناصر التي تنتمي إلى إحدى المجموعتين فقط و ليس إلى كليهما .
نرمز للفرق المتناظر بدائرة تحوي خطين متعامدين ⨁ .

□ الصيغة الرياضية للفرق المتناظر :
A⨁B=(AUB)\(A∩B)
إن الفرق المتناظر ⨁ بين المجموعتين A و B يساوي اتحاد المجموعة A مع المجموعة B فرق تقاطع ∩ المجموعة A مع المجموعة B .
⨁ الفرق المتناظر
U اتحاد .
/ فرق .
∩ تقاطع .

إن الفرق المتناظر بين مجموعتين يساوي حاصل جمع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية ناقص تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية .
مثال توضيحي :
لتكن لدينا المجموعة س و تحوي العناصر :
س= ( سامر, نور, محمد, طارق, عمر , نجم )
ولتكن لدينا المجموعة م و تحوي العناصر :
م = ( طارق, عمر, نجم , مجد, عبيدة, يزن )
ما هو الفرق المتناظر بين المجموعتين م و س ؟
□ قلنا بأن الفرق المتناظر ⨁بين مجموعتين هو حاصل جمع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية أي اتحاد U المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية :
م U س = ( سامر ,نور, محمد , طارق , عمر , نجم , مجد , عبيدة, يزن )
م U س = م+س
□ تذكر دائماً بأننا في علم المجموعات لا نذكر أي عنصر أكثر من مرةٍ واحدة فعندما نجمع مجموعتين مع بعضهما البعض فإن أي عنصرٍ موجود في المجموعتين نذكره مرةً واحدةً فقط.
نتابع حساب الفرق المتناظر للمجموعتين :
إن الفرق المتناظر ⨁ بين المجموعتين A و B يساوي اتحاد المجموعة A مع المجموعة B فرق تقاطع ∩ المجموعة A مع المجموعة B .
□ الآن علينا أن نجد تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية ومن ثم نقوم بطرحه من حاصل اتحاد المجموعتين مع بعضهما البعض :
تقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية :
∩س= م
تعلمون بأن تقاطع مجموعتين مع بعضهما البعض هو العناصر المشتركة بينهما -ماهي العناصر المشتركة بين المجموعتين م و س ؟
س= ( سامر, نور, محمد, طارق, عمر , نجم )
م = ( طارق, عمر, نجم , مجد, عبيدة, يزن )
م∩س= ( طارق , عمر, نجم )
تقاطع المجموعة م مع المجموعة س =( طارق , عمر, نجم ) لأنها عناصر مشتركة بين المجموعتين.
□ الآن نأتي إلى الخطوة الثالثة و الأخيرة في إيجاد الفرق المتناظر ⨁ بين مجموعتين و تتمثل في إيجاد فرق اتحاد المجوعتين من فرق تقاطعهما : أي طرح حاصل جمع المجموعتين من نتيجة تقاطعهما .
الآن:
اتحاد U المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية :
م U س = ( سامر ,نور, محمد , طارق , عمر , نجم , مجد , عبيدة, يزن )
م U س = م+س
وتقاطع المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية :
م∩س=
م∩س= ( طارق , عمر, نجم )
تقاطع المجموعة م مع المجموعة س =( طارق , عمر, نجم ) لأنها عناصر مشتركة بين المجموعتين.
فرق اتحاد المجوعتين من فرق تقاطعهما : أي طرح حاصل جمع المجموعتين من نتيجة تقاطعهما .
فقط نتذكر تعريف الفرق بين مجموعتين :
فرق \ المجموعتين A و B أو الفرق بين المجموعتين A و B أو A فرق B يساوي العنصر أو مجموعة العناصر x التي تحقق الشرط : أنها تنتمي للمجموعة A و أنها لا تنتمي للمجموعة B .
( سامر ,نور, محمد , طارق , عمر , نجم , مجد , عبيدة, يزن )( ( طارق , عمر, نجم ) =
(سامر, نور, محمد, مجد عبيدة , يزن ) .
هل هذه النتيجة صحيحة ؟
نتذكر تعريف الفرق المتناظر
إنه مجموعة العناصر التي توجد في مجموعة واحدة من المجموعتين ولا توجد في الأخرى .
هل ينطبق هذا التعريف على النتيجة التي وصلنا إليها ؟
هل ينتمي أي عنصرٍ في النتيجة التي توصلنا إليها إلى كلتا المجموعتين ؟
النتيجة التي توصلنا إليها :
(سامر, نور, محمد, مجد عبيدة , يزن )
عناصر المجموعتين :
س= ( سامر, نور, محمد, طارق, عمر , نجم )
م = ( طارق, عمر, نجم , مجد, عبيدة, يزن )
إذاً النتيجة صحيحة لأنه لا يوجد أي عنصرٍ من عناصر النتيجة التي توصلنا إليها ينتمي إلى كلتا المجموعتين .

■ طريقة ثانية لحساب الفرق المتناظر ⨁ بين مجموعتين :
و هذه الطريقة أكثر بساطة :
A⊕B=(A∖B)U(B∖A)
إن الفرق التناظري ⨁ بين المجموعتين A و B يساوي اتحاد أو مجموع A فرق B مع B فرق A .
فإذا كانت لدينا المجموعتين :
A=(QM,W,E,R,T,Y,U)
B=( T,Y,U,I,O,P)
فإن الفرق التناظري ⨁ لهاتين المجموعتين يساوي :
A⁄B
A فرق B
A⁄B=(Q,M,W,E,R)
B فرق A
B⁄A=(I,O,P)

(A∖B)U(B∖A)
اتحاد A فرق B مع B فرق A
أي ناتج جمع A فرق B مع B فرق A , أي :
(Q,M,W,E,R,I,O,P)
نتذكر تعريف الفرق التناظري لمجموعتين بأنه مجموع العناصر التي تنتمي إلى إحدى المجموعتين فقط و ليس إلى كليهما .
لدينا النتيجة التي حصلنا عليها وهي : (Q,M,W,E,R,I,O,P) و لدينا عناصر المجموعتين :
A=(QM,W,E,R,T,Y,U)
B=( T,Y,U,I,O,P)
هل تحقق النتيجة التي حصلنا عليها الشرط بأنها تنتمي إلى إحدى المجموعتين فقط ؟
إذا النتيجة صحيحة .

■ كيف حسبنا الفرق التناظري و فق الطريقة الثانية ؟
قلنا بأن الفرق التناظري لمجموعتين هو مجموع العناصر التي تنتمي إلى إحدى المجموعتين فقط و ليس إلى كليهما .
ولذلك فإننا ببساطة قمنا بإيجاد فرق المجموعة الأولى من المجموعة الثانية , أي أننا قمنا بإيجاد العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الأولى ولا تنتمي إلى المجموعة الثانية ومن ثم قمنا بإيجاد فرق المجموعة الثانية من المجموعة الأولي أي أننا قمنا بإيجاد العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الثانية و لا تنتمي إلى المجموعة الثانية و بعد ذلك قمنا بجمع هاتين النتيجتين مع بعضهما البعض فحصلنا على العناصر التي تنتمي إلى مجموعةٍ واحدةٍ فقط من كلتا المجموعتين .
و بناء على ما سبق فإننا نستنتج بأن الفرق التناظري ⨁ لمجموعتين هو عملية فرق مضاعفة .

جبر المجموعات Algebra od Sets :
قانون الثبات Idempotent : الثبات في الرياضيات يتعلق بالمقادير الرياضية التي عندما تتم معاملتها مع نفسها فإنها تساوي نفسها , أي أن النتيجة تكون تلك المقادير ذاتها .
و هنالك عددين حقيقيين وحيدين يمتلكان ميزة الثبات و هما الواحد و الصفر فعندما يضرب كل من هذين العددين بنفسه فإن النتيجة تكون العدد نفسه :
1×1=1
0×0=0
وفي علم المجموعات نصادف كثيراً ميزة الثبات كما هي الحال في الأمثلة التالية :
AUA=A
اتحاد المجموعة A مع المجموعة Aيساوي A
لنتحقق من هذا الأمر :
س = ( نور, سامر, مجد )
س U س = ( نور, سامر , مجد )
اتحاد س مع س = ( نور, سامر, مجد)
أي س + س = (نور, سامر , مجد)
لماذا بقيت المجموعة على حالها عندما جمعناها مع نفسها ؟
لأنه في علم المجموعات لا يذكر العنصر الواحد إلا مرةً واحدة حتى لو تكرر مليار مرة .

مثال آخر عن الثبات أو الرسوخ فيعلم المجموعات :
A∩A=A
المجموعة A تقاطع المجموعة A يساوي المجموعة A .
تعلمون طبعاً بأن تقاطع مجموعتين هو العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين .
لماذا يساوي تقاطع المجموعة A مع المجموعة A المجموعة A ؟
لأن تقاطع المجموعة A مع المجموعة A , أي أن العناصر المشتركة بين المجموعة A و المجموعة A هي جميع العناصر الموجودة في المجموعة A , و بما أن المجموعة تتحدد وفقاً للعناصر المكونة لها فإن تقاطع المجموعة A مع المجموعة A هي كل المجموعة A .
مثال توضيحي :
س = ( نور, سامر, مجد )
س ∩س= ( نور, سامر, مجد )
س تقاطع س = ( نور, سامر , مجد)
العناصر المشتركة ما بين المجموعة س و المجموعة س هي جميع عناصر المجموعة س أي كامل المجموعة س و لذلك فإن س تقاطع س تساوي س .

■ الخاصية الترابطية (التجميعية) associative للعمليات على المجموعات:
يقصد بالخاصية التبديلية أو الخاصية الترابطية أن تغيير مواقع الأعداد الداخلة في عملية الجمع لا يؤثر في نتيجة تلك العملية :
(5+2)+1 = 5+(2+1)
و في علم المجموعات فإن :
(AUB)UC=AU(BUC)
اتحاد المجموعة A مع المجموعة B و اتحاد الناتج مع المجموعة C يساوي اتحاد المجموعة A مع ناتج اتحاد المجموعة B مع المجموعة C .
س = ( نور, سامر, مجد )
ع= ( عبيدة, نور, عمر)
ص= ( محمد, عمر, مجد )
الآن اتحاد المجموعة الأولى مع المجموعة الثانية أي س U ع = ( نور, سامر, مجد, عبيدة , عمر)
اتحاد الناتج مع المجموعة = ( محمد , عمر , مجد, نور, سامر, عبيدة , محمد )
هذه النتيجة يجب أن تساوي اتحاد المجموعة س مع ناتج اتحاد المجموعة ع مع المجموعة ص .
اتحاد المجموعة ع مع المجموعة ص = ( عبيدة, نور, محمد , مجد, عمر )
اتحاد هذا الناتج مع المجموعة س = ( نور , سامر, مجد , عبيدة, محمد , مجد, عمر )
النتيجة متطابقة .
□ اتحاد مجموعتين هو عملية جمع اعتيادية و لكن علينا الحذر من تكرار أي عنصر.

■ مثالٌ آخر على الظاهرة التجميعية :
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
ناتج تقاطع المجموعة A مع المجموعة B تقاطع المجموعة C يساوي تقاطع المجموعة A مع ناتج تقاطع المجموعة B مع المجموعة C .
س = ( نور, سامر, مجد )
ع= ( عبيدة, نور, عمر)
ص= ( محمد, عمر, مجد )
ناتج تقاطع المجموعة س مع المجموعة ع = ( نور ) تقاطع المجموعة ص = Φ المجموعة الخالية – لأنه ليست هنالك عناصر مشتركة يساوي :
تقاطع المجموعة س مع ناتج تقاطع المجموعة ع مع المجموعة ص .
ناتج تقاطع المجموعة ع مع المجموعة ص = ( عمر )
ناتج تقاطع المجموعة ع مع المجموعة ص (عمر) تقاطع المجموعة س = ϕ المجموعة الخالية .
إذاً النتيجة صحيحة .

■ الخاصية التوزيعية distributive :
مثال على الخاصية التوزيعية :
4×(2+3)=(2×4)+(3×4)
20
AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
اتحاد المجموعة A مع (ناتج تقاطع المجموعة B مع المجموعة C) يساوي اتحاد المجموعة A مع المجموعة B تقاطع اتحاد المجموعة A مع المجموعة C .
س = ( نور, سامر)
ع= (نور, عمر)
ص= ( محمد, مجد )
ناتج تقاطع المجموعة ع مع المجموعة ص -أي العناصر المشتركة بينهما = (Φ) اتحاد المجموعة س = (نور, سامر)
□ تذكر النتيجة( نور , سامر)
اتحاد المجموعة س مع المجموعة ع = (نور, سامر, عمر) تقاطع اتحاد المجموعة س مع المجموعة ص :
اتحاد المجموعة س مع المجموعة ص = ( نور, سامر, مجد , محمد) تقاطع اتحاد المجموعة س مع المجموعة ع = ( نور, سامر, عمر)
( نور, سامر, مجد, محمد) تقاطع ( نور, سامر , عمر) = ( نور , سامر)
( نور , سامر) النتيجة صحيحة.

□ حالة توزيعية أخرى :
A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
تقاطع المجموعة A مع ناتج اتحاد المجموعة B مع المجموعة C يساوي اتحاد ناتج تقاطع المجموعة A مع المجموعة B مع ناتج تقاطع المجموعة A مع المجموعة C .
س = ( نور, سامر)
ع= (نور, عمر)
ص= ( محمد, مجد )
تقاطع المجموعة A مع ناتج اتحاد المجموعة B مع المجموعة C :
ناتج اتحاد المجموعة ع مع المجموعة ص =
ع U ص = ( نور, عمر, محمد, مجد)
( نور , عمر, محمد , مجد ) تقاطع المجموعة س أي ( نور , سامر ) = ( نور ) لأن ( نور) هو العنصر المشترك بين هاتين المجموعتين.
□ نتيجة الحد الأول ( نور ) تذكر هذه النتيجة.
يساوي اتحاد ناتج تقاطع المجموعة A مع المجموعة B مع ناتج تقاطع المجموعة A مع المجموعة C :
ناتج تقاطع المجموعة س مع المجموعة ع = (نور )
ناتج تقاطع المجموعة س مع المجموعة ص = المجموعة الخالية (Φ) لأنه لا توجد عناصر مشتركة بينهما .
الآن نحسب اتحاد ناتج تقاطع المجموعة س مع المجموعة ع مع ناتج تقاطع المجموعة س مع المجموعة ص :
( نور ) U ∅ = ( نور )
اتحاد (نور) مع المجموعة الخالية يساوي ( نور) .
لأن اتحاد أي مجموعة مع المجموعة الخالية يساوي تلك المجموعة.
النتيجة صحيحة.


■ قوانين التماثل Identity :
AU∅=A
اجتماع المجموعة A مع المجموعة الخالية يساوي المجموعة A .
كما نقول بأن :
1+0=1

AU U = U
اتحاد المجموعة A مع المجموعة الشاملة U = المجموعة الشاملة .
هل يمكن أن نقول هنا بأن اتحاد المجموعة A مع المجموعة الشاملة يساوي المجموعة الشاملة U + المجموعة A ؟
بالطبع لا يمكن ذلك لأن المجموعة A هي جزءٌ من المجموعة الشاملة , فإذا ذكرنا المجموعة الشاملة فهذا يعني ضمنياً أن المجموعة A و كل مجموعة أخرى معنية بالأمر , كما لو قلنا مثلاً بأن الدولار هو عملة الولايات المتحدة و عملة ولاية كاليفورنيا , هذا الكلام لا معنى له لأن ولاية كاليفورنيا هي جزءٌ من الولايات المتحدة ( حتى ساعة كتابة هذا البحث) , كما لو قلت كذلك بأنك زرت أوروبا كلها و زرت فرنسا لأن زيارتك لأوروبا كلها يعني ضمنياً بأنك زرت فرنسا .

A⋂U=A
تقاطع المجموعة A مع المجموعة الشاملة U يساوي المجموعة A .
أي أن الشيء المشترك ما بين المجموعة A و المجموعة الشاملة هو المجموعة A .
العنصر المشترك ما بين ولاية كاليفورنيا و بين الولايات المتحدة هو ولاية كاليفورنيا بمعنى أنك لو رسمت دائرتين تمثلان مجموعتين أسميت إداهما كاليفورنيا و أسميت الأخرى الولايات المتحدة و كتبت داخلها أسماء الولايات الأمريكية المختلفة و أردت أن تجد العنصر المشترك بين هاتين المجموعتين فإنك سترسم خطاً يصل ما بين مجموعة كاليفورنيا و بين اسم ولاية كاليفورنيا الموجود في مجموعة الولايات المتحدة.

العنصر المشترك ما بين شهر رمضان و بين مجموعة أشهر السنة الهجرية هو شهر رمضان :
رمضان —————————رمضان
شعبان
ذو القعدة
ذو الحجة
000

A∩ϕ=Φ
تقاطع المجموعة A مع المجموعة الخالية ϕ يساوي المجموعة الخالية .
ما هو الشيء المشترك ما بين أي مجموعة و المجموعة الخالية ϕ ؟
إنه المجموعة الخالية , لماذا؟
لأن المجموعة الخالية هي جزءٌ من كل مجموعة , أي أنها موجودةٌ في كل مجموعة .
هذا الكلام حتى و إن لم يكن دقيقاً فإنه يساعدنا على تذكر القاعدة كما أنه يؤدي إلى نتيجة صحيحة .

■ قانون الإكمال Complement law :
A U AC=U
اتحاد المجموعة A مع المتمم المطلق للمجموعة Acيساوي المجموعة الشاملة .
المتمم المطلق لمجموعةٍ ما هي مجموعة العناصر التي إذا أضيفت إلى مجموعةٍ ما فإنها تجعل منها مجموعةً شاملة , أي أن المتمم المطلق هو مجموعة العناصر التي تنقص مجموعةً ما حتى تكون مجموعةً شاملة .
و لو عدنا إلى مثال مجموعة الطوابع فإذا كانت لديك مجموعة طوابع و لتكن A فإن المكمل المطلق أو المتمم المطلق لمجموعة الطوابع التي تمتلكها AC هو جميع الطوابع التي تنقص مجموعتك حتى تصبح مجموعةً شاملةً تضم جميع الطوابع الموجودة في العالم.
و لهذا السبب فإن :
المجموعة + المكمل المطلق لهذه المجموعة = المجموعة الشاملة .

■ قانون الإكمال الثاني :
UC=ϕ
المكمل المطلق للمجموعة الشاملة هو المجموعة الخالية .
U المجموعة الشاملة.
Uc المكمل المطلق للمجموعة الشاملة .
Φ المجموعة الخالية .

لماذا المكمل المطلق للمجموعة الشاملة هو المجموعة الخالية ؟
لأنه يشترط في المجموعة الشاملة أن تكون مجموعةً كاملة لا ينقصها أي عنصر و إذا نقصت المجموعة الشاملة و لو عنصراً واحداً فإنها لا تكون مجموعةً شاملة وبالتالي فإن المجموعة الشاملة لا ينقصها أي عنصر و لذلك فإن ما ينقص المجموعة الشاملة هو العدم أو اللاشيء أو الصفر أو بلغة علم المجموعات هو المجموعة الخالية , أي أن المكمل المطلق للمجموعة الشاملة حتى تصبح مجموعة شاملة هو المجموعة الخالية .
■ قانون الإكمال الثالث :

ΦC=U
المكمل المطلق للمجموعة الخالية هو المجموعة الشاملة .
المجموعة الخالية هي الصفر أو العدم فما الذي ينقص المجموعة الخالية حتى تصبح مجموعةً شاملة تضم جميع العناصر ؟ إن الذي ينقصها حتى تصبح مجموعةً شاملة هو جميع العناصر , أي أن ما ينقصها هو المجموعة الشاملة .
ما الذي ينقص الصفر حتى يصبح مليار ؟ ينقص الصفر مليار حتى يصبح مليار .
ما الذي ينقص الصفر حتى يصبح مليون ؟ ينقص الصفر مليون حتى يصبح مليون .

■ قوانين دي مورجان De Morgan's laws :
أوغوستوس دي مورجان Augustus De Morgan :رياضي إنكليزي ولد في العام 1806 إليه ينسب قانون دي مورجان و الذي يعرف أحياناً بثنائية دي مورجان De Morgan duality .

(AUB) 〖^c〗=A〖^c〗∩B〖^█(c @)〗

المتمم المطلق c لحاصل اتحاد المجموعة A مع المجموعة B يساوي المتمم المطلق للمجموعة AC تقاطع المتمم المطلق للمجموعة Bc.
إذا كان لكلٍ من المجموعتين Aو B متممٌ مطلق مشترك فمن الطبيعي أن يكون ذلك المتمم المطلق المشترك مساوياً لتقاطع المكمل المطلق للمجموعة A مع المكمل المطلق للمجموعة B .
أولاً علينا أن نتذكر بعض الأمور :
المتمم المطلق C لمجموعةٍ ما هو مجموعة العناصر التي تنقص تلك المجموعة حتى تصبح مجموعةً شاملة U تضم كل العناصر .
تقاطع مجموعتين ∩ : هو مجموعة العناصر المشتركة بينهما.
المجموعة الشاملة : هي المجموعة الكاملة التي تضم كل العناصر .
لنفترض بأن عدد الدجاج في العالم مليار دجاجة و أن هذه المليار دجاجة موجودة ضمن مجموعة تدعى بالمجموعة الشاملة U , أي أن هذه المجموعة الشاملة تضم مليار دجاجة .
و لنفترض بأنه كان لدينا مدجنتين فارغتين لا تحويان أية دجاجة المدجنة الأولى دعوناها بالمجموعة A بينما دعونا المدجنة الفارغة الثانية بالمجموعة B .
إذا اتحدت هاتين المدجنتين مع بعضهما البعض كم يلزمهما حتى تصبحا مجموعةً شاملة , أي ما هو المكمل المطلق لهما ؟
يلزمهما مليار دجاجة حتى تصبحا مجموعةً شاملة أي أن المتمم المطلق لهما هو مليار دجاجة على اعتبار أن عدد الدجاج في العالم هو مليار دجاجة أي أن المجموعة الشاملة U تضم مليار دجاجة .
الآن لو اعتبرنا كل مدجنة على حدة :
ما هو المتمم المطلق للمدجنة الأولى الخاوية (المجموعة A) ؟
أي كم يلزم المدجنة الأولى الخاوية (المجموعة A) حتى تصبح مجموعةً شاملة ؟
يلزمها مليار دجاجة حتى تصبح مجموعة شاملة .
ما هو المتمم المطلق للدجاجة السوداء؟
أي كم يلزم المدجنة الأولى الخاوية (المجموعة A) حتى تصبح مجموعةً شاملة؟
يلزمها مليار دجاجة حتى تصبح مجموعة شاملة .

ما هي نتيجة تقاطع المكمل المطلق للمدجنة الأولى مع المكمل المطلق للمدجنة الثانية ؟
أي ما هي العناصر المشتركة بين المكمل المطلق للمدجنة الأولى و بين المكمل المطلق للمدجنة الثانية ؟
إنها جميع الدجاجات أي المليار دجاجة .
لماذا لأن كل مدجنة من هاتين المدجنتين تحتاج إلى المليار دجاجة ذاتها حتى تصبح مجموعةً شاملة و هذا يعني بأن هذه المليار دجاجة (المكمل المطلق) بأكملها مشتركة بين هاتين المدجنتين أو المجموعتين.

المتمم المطلق c لحاصل اتحاد المجموعة A مع المجموعة B يساوي المتمم المطلق للمجموعة A تقاطع المتمم المطلق للمجموعة B.

■ قانون دي مورجان الثاني :
(A∩B) 〖^C〗=A〖^C〗UB〖^C〗
إن نتيجة تقاطع ∩ المكمل المطلق C لكلٍ من المجموعة A مع المجموعة B يساوي اتحاد المكمل المطلق للمجموعة AC مع المكمل المطلق للمجموعة BC .
□ أولاً نتذكر معاني بعض المصطلحات:
□ المكمل المطلق أو المتمم المطلق C هو كل ما ينقص مجموعةً ما حتى تصبح مجموعةً شاملة U , أي مجموعةً تضم جميع العناصر.
□ نتيجة تقاطع مجموعتين ∩ : هي العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين .
الآن :
لنفترض بأن عدد التلاميذ في العالم هو مليار تلميذ بمعنى أن هؤلاء المليار تلميذ أو هؤلاء المليار عنصر يشكلون المجموعة الشاملة U التي تضم جميع العناصر , على اعتبار أنها تضم جميع تلاميذ العالم .
لنفترض بأنه كانت هنالك مدرسة خاوية ندعوها بالمجموعة A .
الآن ما هو المكمل المطلق حتى تصبح المدرسة الخاوية A مجموعةً شاملة تضم كل العناصر؟
المكمل المطلق لهذه المدرسة الخاوية هو مليار تلميذ ( على فرض أن هذا هو عدد تلاميذ العالم ).
لنفترض بأنه كانت هنالك مدرسةٌ ثانية خاوية ندعوها بالمجموعة B .
ما هو المكمل المطلق لهذه المدرسة الثانية الخاوية (المجموعة B) حتى تصبح تلك المدرسة مجموعةً شاملة تضم كل العناصر؟
المكمل المطلق للمدرسة الثانية الخاوية (المجموعة B) حتى تصبح تلك المدرسة مجموعةً شاملة تضم كل العناصر هو مليار تلميذ .
إن نتيجة تقاطع ∩ المكمل المطلق C لكلٍ من المجموعة A مع المجموعة B يساوي اتحاد المكمل المطلق للمجموعة AC مع المكمل المطلق للمجموعةBC .
ما هي نتيجة تقاطع المكمل المطلق لكلٍ من المدرسة الأولى مع المدرسة الثانية ؟
أي ما هي العناصر المشتركة بين المكمل المطلق للمدرسة الأولى مع المكمل المطلق للمدرسة الثانية ؟
العناصر المشتركة بين المكملين هي جميع العناصر أي المليار تلميذ لأن كلتا هاتين المدرستين تحتاج إلى المليار تلميذ ذاتها حتى تصبح مجموعةً شاملة تضم كل العناصر (كل تلاميذ العالم).
كم يبلغ اتحاد U المكمل المطلق للمجموعة الأولى مع المكمل المطلق للمجموعة الثانية؟
أي كم يبلغ ناتج جمع المكمل المطلق للمدرسة الأولى مع المكمل المطلق للمدرسة الثانية؟
المكمل المطلق للمدرسة الأولى يبلغ مليار تلميذ و المكمل المطلق للمدرسة الثانية يبلغ مليار تلميذ و الآن :
مليار تلميذ U مليار تلميذ = مليار تلميذ
مليار تلميذ + مليار تلميذ = مليار تلميذ , لماذا؟
لأننا في علم المجموعات لا نكرر ذكر أي عنصر .فنقول مثلاً :
سامر U سامر = سامر
اتحاد سامر مع سامر = سامر
إذاً :
إن نتيجة تقاطع ∩ المكمل المطلق C لكلٍ من المجموعة A مع المجموعة B يساوي اتحاد المكمل المطلق للمجموعة AC مع المكمل المطلق للمجموعة BC .

■ المجموعة المحدودة – المجموعة المنتهية Finite set :
المجموعة المحدودة أو المجموعة المنتهية finite site هي المجموعة التي تحتوي عدداً محدوداً من العناصر و قابلاً للحصر و على سبيل المثال فإن المجموعة الخالية ∅ هي مجموعةٌ محدودة و منتهية لأنها تحوي صفر عنصر – مجموعة الأعداد من واحد إلى عشرة هي مجموعة منتهية و محدودة و كذلك الحال بالنسبة إلى مجموعة المدرسة فهي مجموعة محدودة و منتهية لأنها تحوي عدداً محدوداً و قابلاً للعد و الحصر من التلاميذ ( العناصر) و مجموعة أحرف الأبجدية لأنها تحوي عدداً محدوداً من العناصر (الأحرف)
□ المجموعة غير المحدودة و غير المنتهية infinite set هي المجموعة التي تحتوي على عددٍ غير محدود و غير قابلٍ للحصر من العناصر مثل مجموعة الأعداد {1, 2, …, n}
لماذا نعتبر مجموعة الأعداد مجموعةً غير محدودة و غير منتهية ؟
لأنها غير قابلة للحصر فهل يوجد شخصٌ في العالم يستطيع أن يقول لنا ما هو أعلى رقم يمكن الوصول إليه و ليس بعده رقمٌ أكبر منه ؟
و الحال كذلك بالنسبة لمجموعة الأعداد الزوجية و مجموعة الأعداد الفردية فكلها مجموعات غير منتهية ولا يمكن حصر عناصرها برقمٍ معين.
و كقاعدة عامة فإن :
All finite sets are countable , but not all countable sets are finite.
جميع المجموعات المنتهية قابلة للعد و لكن ليست جميع المجموعات القابلة للعد منتهية .

يشار للمجموعات المنتهية بحرف n يوضع قرب اسم المجموعة .
حالة :
n(A)+n(B)=n(AUB)
n(A)+n(B)=n(AUB)
إذا كانت كلٌ من المجموعتين Aو B مجموعتين منفصلتين منتهيتين و محدودتين فإن اتحاد المجموعة A مع المجموعة B هو كذلك مجموعةٌ منتهية .
المجموعات التي تكون محدودة عندما تكون منفصلة تبقى محدودة عند اتحادها مع مجموعات أخرى منتهية.

■ قوة المجموعة Power set :
قوة المجموعة هي التعبير عن جميع الفئات الجزئية التي تتبع تلك المجموعة .
A Power Set is a set of all the subsets of a set.
□ يستخدم الرمز S للتعبير عن جميع العناصر و المجموعات الجزئية التي تتبع تلك المجموعة.
P(S) = Power set = قوة المجموعة
□ الحرف Sهو اختصار لكلمة ( مجموعة) set و نحن دائماً نكتبه كبيراً و بين قوسين.
□ دائماً يعبر عن قوة مجموعةٍ ما بعدد 2 مرفوع لقوةٍ معينة هي عدد عناصر تلك المجموعة و عدد مجموعاتها الجزئية فإذا كان لدينا مجموعة مؤلفة من سبعة عناصر فإننا نعبر عن قوة تلك المجموعة بعدد 2 مرفوع للقوة 7 :
27
و في حال لم يتم تحديد قوة المجموعة , أي في حال لم يتم تحديد عدد عناصرها و مجموعاتها الجزئية فإننا عندها نعبر عن قوة تلك المجموعة بعدد 2 مرفوع للقوة n .
2n
□ بالطبع فإن الحرف nهو اختصار لكلمة( عدد ) وهو يرمز لأي عددٍ كان..

كيف تعبر عن قوة مجموعة تتألف من ستة عناصر ؟
لتكن لدينا المجموعة (S) التي تتألف من ستة عناصر :
S=(1,2,3.4,5,6)
نقول بأن قوة هذه المجموعة تساوي :
P(S)=2n=26=64
قوة هذه المجموعة تساوي 64 .
P(S) = power set = قوة المجموعة .

الدالة – التابع Function

الدالة – التابع Function
عندما تكون هنالك علاقة ما بين عنصر ما من مجموعة ٍ ما و عنصرٍ آخر من مجموعةٍ ثانية فإننا نعبر عن تلك العلاقة بسهم يصل ما بين هذين العنصرين , و هذا السهم ينطلق من العنصر المصدر إلى العنصر الهدف .

المجموعة A المجموعة B
استراليا —————-←كندا
المانيا ——————←إنكلترا
الدنمارك —————← فنلندا

نعبر عن الدوال أو التوابع Functions برمز معين , كما نعبر عن علاقة التابعية بين عنصرين بسهم ← :
فإذا رمزنا لتابعٍ ما أو دالةٍ ما function تربط بين مجموعتين بالحرف f مثلاً فإننا نعبر عن علاقة التابعية بالشكل التالي:
f:A→B
الدالة أو التابع f على اعتبار أن هذه الدالة تربط ما بين A و B او أنه تابعٌ من A إلى B (مصدره A و هدفه B ) .

□ تابعي السقف و الأرض Ceiling and Floor Functions :
(الحد الأدنى و الحد الأعلى )
إذا كان x عدداً حقيقياً فإنه لا بد واقعٌ بين عددين صحيحين أدنى و أعلى منه يسميان أرض و سقف , فالحد الأدنى للعدد x أو تابع الأرض لذلك العدد يشير إلى أكبر عددٍ صحيح لا يزيد عن العدد x , أما الحد الأعلى للعدد x أو تابع السقف للعدد x فإنه يشير إلى أقل عددٍ صحيح لا يقل عن العددx .

مخطط فن :

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/Venn_diagram
ABC_RGB.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/British_Isles_Venn_Diagram-en
%282%29.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/db/Votic_vowel_harmony_Venn_diagram.svg

الإعلانات