الرياضيات خطوة بخطوة – المتواليات الهندسية – حساب الاحتمالات

بسم الله الرحمن الرحيم
الرياضيات خطوة بخطوة – المتواليات الهندسية – حساب الاحتمالات
د.عمار شرقية
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

■ المتوالية الحسابية – المتوالية العددية Arithmetic progression :
المتوالية الحسابية أو المتوالية العددية هي عبارة عن سلسلة من الأعداد المتتابعة التي تتزايد أو تتناقص بشكلٍ ثابت .
مثال على المتوالية الحسابية أو المتوالية العددية :
عندما تعد من واحد لعشرة مثلاً أو من عشرة لمئة أو من واحد لألف أو عندما تعد بشكلٍ عكسي من مئة لواحد فإن سلاسل العداد تلك هي متواليات حسابية أو متوالياتٍ عددية لأنها تنقص أو تزداد بشكلٍ ثابت ذلك أن كل عددٍ في تلك السلسلة أو تلك المتوالية هو أكبر من العدد الذي يسبقه بعددٍ واحد كما أنه أصغر من العدد الذي يليه بعددٍ واحدٍ كذلك.

■ المتوالية الهندسية –المتتابعة الهندسية Geometric Sequences –
geometric progression:
المتوالية الهندسية هي سلسلة من الأعداد و في هذه السلسلة فإن كل عددٍ يضرب بعددٍ ثابت حتى نحصل على العدد الذي يليه في تلك السلسلة .
سلسلة الأعداد 1,2,4,8,16….. هي عبارة عن متوالية هندسية – لماذا ؟
لأننا نضرب كل عددٍ فيها بالعدد 2 حتى نحصل على العدد الذي يليه في تلك المتوالية أو السلسلة , فنحن ضربنا العدد 1 بالعدد 2 حتى نحصل على العدد الذي يليه وهو العدد 2 ثم ضربنا العدد 2 بالعدد 2 فحصلنا على العدد الذي يليه وهو العدد أربعة ثم ضربنا العدد 4 بالعدد 2 فحصلنا على العدد 8 ثم ضربنا العدد 8 بالعدد 2 فحصلنا على العدد الذي يليه وهو العدد 16 و هكذا إلى ما لا نهاية .
بكلماتٍ أخرى فإن المتوالية الهندسية أو المتتابعة الهندسية geometric sequence هي تتابع أعداد يتم إيجاد كل عددٍ فيها عن طريق ضرب العدد السابق له بعددٍ ثابت ( غير الصفر) و يدعى هذا العدد الثابت بالنسبة الثابتة common ratio .
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …
في المثال السابق تم ضرب كل عددٍ من الأعداد الموجودة في تلك المتوالية الهندسية بالعدد 2 للحصول على العدد الذي يليه.

□ أبرم شخصٌ ما قد أبرم عقداً مع مليونير أمريكي يقضي بأن يدفع ذلك الشخص للمليونير مئة الف دولار أمريكي مقابل أن يعطيه المليونير دولاراً واحداً في اليوم الأول و ان يعطي ذلك الشخص للمليونير في اليوم الثاني مئة ألف دولار مقابل أن يعطيه المليونير دولارين اثنين و ان يعطي ذلك الشخص للمليونير مئة ألف دولار في اليوم الثالث مقابل أن يعطيه المليونير أربع دولارات بمعنى أن يعطي المليونير لذلك الشخص كل يوم ضعف المبلغ الذي كان يعطيه إياه في اليوم السابق – المهم في الأمر أن ذلك المليونير تعرض للإفلاس نتيجة ذلك العقد الذي أبرمه مع ذلك الشخص و ذلك بسبب جهله بالمتوالية الهندسية .
حاول أن تحسب المبالغ التي كان يتوجب على ذلك المليونير أن يدفعها لذلك الشخص بعد مرور شهر من إبرام العقد .

□ المتوالية الهندسية السابقة هي على المنوال التالي :
2,4,8,16,32,64,128……,1
□ كل عدد في المتوالية الهندسية السابقة يساوي حاصل جمع جميع الأعداد التي سبقته مضافاً إليه العدد واحد :
فالعدد 128 يساوي 1+2+4+8+16+32+64 مضافاً إليها العدد واحد .
و العدد 64 يساوي 1+2+4+8+16+32 مضافاً إليها العدد واحد .
■ حتى نعرف مجموع جميع الأعداد الداخلة في المتوالية الهندسية فإننا نضرب آخر عدد وصلت إليه المتوالية الهندسية بالعدد 2 ثم نطرح منه العدد واحد .
فإذا كان آخر عدد أو اكبر عدد في متوالية ٍ هندسية ما هو الرقم 20480 و أردنا ان نعرف مجموع جميع الأعداد الداخلة في هذه المتوالية الهندسية فإننا نضرب ذلك الرقم بالعدد 2 ثم نطرح منه العدد واحد :

20480 ×2=40960
40960-1=40959
40959 هو مجموع الأعداد الداخلة في تكوين تلك المتوالية .

في مثالنا السابق إذا أردنا ان نحسب مقدار ما دفعه المليونير لذلك الشخص خلال شهرٍ واحد فإن علينا ان نضرب الرقم الذي طابق اليوم الثلاثين في تلك المتوالية بالعدد 2 و ان نضيف له العدد واحد كما تعلمنا من قبل .
لماذا اليوم الثلاثين أو العدد الثلاثين في تلك المتوالية ؟ لأننا نريد ان نعرف جميع المبالغ التي دفعها المليونير لذلك الشخص خلال شهرٍ واحدٍ فقط.
فإذا علمنا بأن المليونير دفع لذلك الشخص في اليوم الثلاثين مبلغ 5368709 فهذا يعني بأن مجموع ما دفعه المليونير خلال شهر هو :
5368709×2+1= 10737419
10737419 دولار أي بحدود 11 مليون دولار , وذلك خلال شهرٍ واحد فقط.

كم سيأخذ ذلك الشخص من المليونير في اليوم الواحد و الثلاثين و فقاً لتلك المتوالية الهندسية ؟
إذا أخذ من المليونير في اليوم الثلاثين 5368709 دولاراً فهذا يعني بأنه سيأخذ من في اليوم الواحد و الثلاثين ضعف ذلك المبلغ أي :
53687090×2=107374180

□ تعتبر الشائعات و طريقة انتشارها أحد التطبيقات العملية للمتوالية الهندسية فالشخص الأول الذي اطلق الشائعة قام بإخبارها مثلاً لخمسة اشخاص و من ثم فقد قام كل واحدٍ من أولئك الخمسة أشخاص بإبلاغ خمسة آخرين فأصبح عدد من يعرفون الشائعة ثلاثين شخصاً بالإضافة إلى الشخص الذي أطلقها :
5+(5×5)=30
العدد خمسة الموجود خارج القوس يدل على أول خمسة أشخاص سمعوا بالشائعة من الشخص الذي أطلقها .
(5×5) تشير إلى أن كل واحد من الخمسة الأوائل الذين سمعوا الشائعة قام بإبلاغ خمسة أشخاص آخرين بتلك الشائعة حتى أصبح لدينا ثلاثين شخصاً قد سمعوا بتلك الشائعة بما في ذلك الخمسة الأوائل .
الآن و بعد مرور نصف ساعة مثلاً يكون كل واحدٍ من هؤلاء الثلاثين شخصا قد قامً بإبلاغ خمسة اشخاص جدد فيصبح لدينا 180 شخصاً يعرفون تلك الشائعة : الثلاثين شخصاً السابقين + 150 شخصاً قام أولئك الثلاثين بإبلاغهم الشائعة :
30+(30×5)=180
30 الأشخاص الذين قاموا بنشر الشائعة .
(30×5) تدل على ان كل واحدٍ من أولئك الثلاثين قام بإبلاغ الشائعة لخمسة أشخاصٍ آخرين.
الآن بعد مرور نصف ساعة يقوم كل واحدٍ من المئة و ثمانين شخصاً بإبلاغ الشائعة لخمسة أشخاص آخرين :
180+(180×5)=1080
180 : الأشخاص الذين قاموا بنشر الشائعة .
(180×5) تعني بأن كل واحدٍ من أولئك المئة و الثمانين شخصاً قد أبلغ الشائعة لخمسة أشخاص .
1080 = عدد الأشخاص الذين قاموا بنشر الشائعة مضافاً إلى عدد الأشخاص الجدد الذين وصلت إليهم الشائعة .
و إذا أكملنا هذه العملية الحسابية سنكتشف بأنه بعد مرور بضعة ساعات فإن الشائعة تكون قد وصلت إلى مئات الآلاف .

□ يحكى بأن أحد الملوك أراد ان يكافئ مخترع لعبة الشطرنج على اختراعه و لما سأله عن نوع المكافئة التي يرغب بها طلب مخترع لعبة الشطرنج من الملك أن تكون مكافئته عبارةً عن حبات قمح على أن توضع على شكل متوالية هندسية حسب عدد مربعات رقعة الشطرنج – في البداية ظن الملك أن الأمر لن يتطلب منه إلا بضعة مئات من حبوب القمح و لكنه اكتشف لا حقاً بأنه يتوجب عليه أن يمنحه كمياتٍ من القمح تفوق ما هو موجود في كل مستودعات الغلال الموجودة على ظهر كوكب الأرض .
أنتم تعلمون بأن رقعة الشطرنج تحوي 64 مربعاً , فإذا وضعنا حبة قمح في المربع الأول و حبتي قمح في المربع الثاني و أربع حبات قمح في المربع الثالث و ثمان حبات قمح في المربع الرابع فكم عدد حبات القمح التي يتوجب علينا أن نضعها في المربع الأخير في رقعة الشطرنج , أي المربع 64 ؟
إن كل مربع من المربعات الأربعة و الستين يجب أن يحوي ضعف العدد الذي يحتويه المربع السابق له من حبات القمح كما يجب أن يحتوي كل مربع على نصف عدد حبات القمح الذي يحتويها المربع الذي يليه , وهذا يعني بأنه إذا كان علينا أن نعرف عدد حبات القمح فيجب أن لا نضرب العدد 2 بالرقم 64 و إنما يتوجب علينا أن نضرب الرقم 2 بنفسه 64 مرة :
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2….
لتسهيل عملية الضرب في مثل هذه الحالات فإننا نقسم عملية الضرب هذه إلى ست أجزاء
كل جزءٍ منها يحوي العدد اثنين مضروباً بنفسه عشر مرات و بذلك نكون قد حسبنا العدد ستين و يتبقى علينا العدد أربعة نحسبه في مجموعة تحوي العدد اثنين مضروباً بنفسه أربع مرات و بضرب الناتج الذي حصلنا عليه في كل جزء فإننا نكون قد حسبنا عدد حبات القمح التي يتوجب وضعها في المربعات الأربعة و الستين الخاصة برقعة الشطرنج.
في كل مجموعة من المجموعات الستة فإننا نضرب العدد اثنين بنفسه عشر مرات فتكون النتيجة 1024 .
(انتبه جيداً إلى اننا نضرب العدد اثنين بنفسه عشر مرات ولا نضربه بالعدد عشرة )
يمكنك أن تضرب العدد اثنين بنفسه عشر مرات باستخدام الآلة الحاسبة و ذلك برفع العدد اثنين إلى القوة عشرة و للقيام بذلك اتبع الخطوات التالية :
اضغط الرقم 2 ( لأن الرقم اثنين هو العدد الذي نريد رفعه للقوة )
اضغط الزر Xy ( زر الرفع للقوة )
اضغط الزر 10 ( لأننا نريد رفع العدد اثنين إلى القوة عشرة أي أننا نريد أن نضرب العدد 2 بنفسه عشر مرات )
اضغط الزر = يساوي
فتحصل على النتيجة 1024 .

يصبح لدينا ست مجموعات كل مجموعة تتألف من الرقم 1024 .
لحساب المربعات الأربعة المتبقية من خانات الشطرنج فإننا نضرب العدد اثنين بنفسه أربع مرات ( ولا نضربه بالعدد أربعة )
2×2×2×2=16
و يمكننا حل هذه المسالة برفع العدد اثنين إلى القوة أربعة في الآلة الحاسبة :
اضغط الزر 2 ( العدد الذي تريد رفعه للقوة)
اضغط الزر XY ( زر الرفع للقوة (
اضغط الزر 4 ( القوة التي تريد رفع العدد إليها)
اضغط زر يساوي =
تحصل على النتيجة و هي بالطبع 16 .

الان أصبح لدينا ست مجموعات يتألف كل منه من الرقم 1024 و مجموعة واحدة تتألف من الرقم 16 على اعتبار أن عدد خانات رقعة الشطرنج هي 64 خانة.
ماذا نفعل بهذه المجموعات , هل نجمعها مع بعضها البعض حتى نعرف عدد حبات القمح التي يتوجب وضعها في خانات رقعة الشطرنج؟
كلا , إياك أن تقوم بجمعها مع بعضها البعض لأن المطلوب كان في البداية أن نضرب العدد اثنين ببعضه 64 مرة لا أن نجمعه مع بعضه , و ليس أن نضربه بالعدد 64 .
إذا المطلوب منا الان أن نضرب الرقم 1024 بنفسه ست مرات لأن لدينا ست مجموعات كل مجموعة منها هي حاصل ضرب العدد اثنين مع بعضه عشر مرات , كما يتوجب علينا أن نضرب الناتج كذلك مع العدد 16 الذي يمثل الخانات الأربعة في رقعة الشطرنج .
لتسهيل عملية الضرب فإننا نقسم المجموعات الستة إلى ثلاث مجموعات تحوي كل منها رقمي 1024 نقوم بضربهما مع بعضهما البعض :
1024×1024=1048576
و هكذا أصبح لدينا ثلاث مجموعات تحوي كلٌ منهما الرقم 1048576 .
الآن يتوجب علينا أن نحسب الآتي :
1048576×1048576×1048576×16
حتى نعرف عدد حبات القمح اللازم لملء خانات رقعة الشطرنج الأربعة و السنين.
إن النتيجة ستكون :
18 446 744 073 709 551 615
و يمكنك ان تحسب النتيجة على الآلة الحاسبة برفع العدد اثنين إلى القوة 64 :
اضغط العدد 2
اضغط زر الرفع للقوة XY
اضغط الرقم 64
اضغط الزر =

برأيك كم كيلو غرام من القمح سنحتاج للحصول على هذا العدد من الحبوب ؟
إن المتر المكعب الواحد من القمح يحتوي على نحو خمسة عشر مليون حبة قمح , و هذا يعني ان عدد حبات القمح الذي طلبها مخترع لعبة الشطرنج تحتاج إلى مستودع حبوب حجمه 12 ألف كيلو متر مكعب ( و ليس 12 ألف متر مكعب) اثنا عشر ألف متر مكعب من القمح .

□ لو طلب مخترع لعبة الشطرنج من الملك أن تكون مكافئته أن يوضع له في كل خانة من خانات رقعة الشطرنج عددٌ من حبات القمح يساوي ثلاثة أضعاف العدد الموجود في الخانة التي تسبقها , أي أن توضع حبات القمح على شكل متوالية هندسية على الشكل التالي :
1,3,9,18,36,72…..
فكيف كنا سنحسب عدد حبات القمح التي تلزمنا لملء جميع خانات رقعة الشطرنج الستة و الأربعين ؟
كان يتوجب علينا عندها ان نتبع الخطوات السابقة ذاتها و كان بدلاً من ان نضرب العدد 2 بنفسه 46 مرة , كان يتوجب علينا عندها أن نضرب العدد 3 بنفسه 64 مرة , لماذا؟
لأن مخترع اللعبة طلب من الملك أن تحوي كل خانة من خانات رقعة الشطرنج ثلاثة أمثال العدد الموجود في الخانة السابقة .
كما أن بإمكاننا أن نحسب ذلك عن طريق رفع العدد ثلاثة للقوة 64 عن طريق الالة الحاسبة وفق الخطوات :
نضغط العدد ثلاثة .
نضغط زر الرفع للقوة XY.
نضغط الرقم 64 لأننا نرغب في رفع العدد ثلاثة للقوة 64 .
نضغط يساوي =
■ المتواليات الهندسية في الطبيعة :
يمكن القول بأن جميع الكائنات الحية تنمو وتتكاثر على شكل متوالية هندسية فكل كائنٍ حي يبدأ حياته على شكل خليةٍ واحدة و هذه الخلية تنقسم إلى خليتين و كلٌ منهما تنقسم كذلك إلى خليتين إلى ان نحصل على ملياراتٍ من الخلايا التي يتألف منها الكائن الحي .

■ حساب الاحتمالات :
أراد سامر في نهاية العام المدرسي أن يلتقط صورة مع صديقه نور أمام جدار :
كان هنالك وضعين فقط يمكن التقاطهما و هما أن يقف سامر إلى يسار نور أو أن يقف سامر إلى يمين نور , فكان هنالك احتمالين فقط و هما :
سامر – نور او نور – سامر
الآن أراد صديقهما محمد أن ينضم إليهما و أن يلتقط معهما صوراً تذكارية , فكم صورة يمكن الآن لهما التقاطها و كم هي عدد الاحتمالات الممكنة لالتقاط الصور :
الاحتمال الأول : أن يكون سامر بين محمد و نور .
محمد – سامر – نور
الاحتمال الثاني : أن يكون محمد بين سامر و نور .
سامر – محمد – نور
الاحتمال الثالث : أن يكون نور بين محمد و سامر .
محمد – نور- سامر
الاحتمال الرابع : أن يقف نور إلى اليمين و أن يكون سامر في المنتصف و محمد إلى اليسار:
نور – سامر – محمد
الاحتمال الخامس : : أن يقف سامر إلى اليمين و أن يكون نور في المنتصف و ان يقف محمد إلى اليسار :
سامر – نور – محمد
الاحتمال السادس و الأخير : أن يقف نور إلى اليمين و ان يكون محمد في المنتصف و أن يقف سامر إلى اليسار.
نور – محمد سامر
□ كيف نحسب الاحتمالات هنا؟
في الحالة الأولى كان لدينا سامر و نور فقط و كان لديهما احتمالين فقط لالتقاط الصورة و هما :
أن يقف سامر إلى يسار نور أو أن يقف سامر إلى يمين نور:
سامر – نور او نور – سامر
في الحالة الثانية دخل محمد إلى موقع التقاط الصور و كان لديه ثلاثة احتمالات بالنسبة لسامر و نور و هذه الاحتمالات الثلاثة هي :
أن يقف إلى يمين سامر و نور :
محمد – سامر –نور
أن يقف إلى يسار سامر و نور .
سامر – نور – محمد
أن يقف بين سامر و نور .
سامر –محمد- نور

□ الآن حتى نتوصل إلى جميع الاحتمالات الممكنة فإننا نضرب الاحتمالات التي كانت ممكنة قبل وصول محمد بالاحتمالات التي أصبحت ممكنة بعد وصول محمد ( الخيارات التي كانت متوفرة لسامر و نور قبل وصول محمد و الاحتمالات التي كانت متوفرة لمحمد بعد وصوله :
2×3=6

□ قم بقص مربعات من الورق ذات ألوانٍ ثلاثة و حاول أن ترتب كل ثلاثة منها إلى جوار بعضها البعض على خطٍ مستقيم بحيث تحصل على اكبر عددٍ ممكن من المصفوفات التي لا تشبه الواحدة منها الأخرى .
□ قم بقص مربعات من الورق و اكتب على بعضها اسم نور و على بعضها الآخر اسم سامر و على بعضها اسم محمد و حاول أن ترتب كل ثلاثة منها إلى جوار بعضها البعض على خطٍ مستقيم بحيث تحصل على اكبر عددٍ ممكن من المصفوفات التي لا تشبه الواحدة منها الأخرى .

■ الآن انضم عمر إلى كلٍ من محمد و سامر و نور فأصبحوا أربعة – ماهي الاحتمالات التي يمكن لهم أن يقفوا وفقها لالتقاط صورة أمام جدار المدرسة بحيث يكونون على نسقٍ واحد في مواجهة الكاميرة و وجوههم جميعاً متجهة نحو الكاميرة؟
□ نحن نعلم قبل انضمام عمر بأنه كان هنالك ستة أوضاع اتخذها سامر و نور و محمد , فما هي الأوضاع الاضافية التي يمكن أن يؤدي انضمام عمر إلى حدوثها ؟
□ الاحتمال الأول : يمكن ان يقف عمر إلى أقصى يمين المجموعة بحيث يكون الثلاثة الآخرين إلى يساره .
عمر – سامر – محمد –نور
□ الاحتمال الثاني : يمكن لعمر أن يقف إلى اقصى يسار المجموعة بحيث يكون الثلاثة الآخرين إلى يمينه .
سامر – محمد – نور-عمر
□ الاحتمال الثالث : أن يقف بين الأول و الثاني , أي أن يقف بين سامر و محمد :
سامر – عمر – محمد – نور
□ الاحتمال الرابع : أن يقف عمر بين الثاني و الثالث , أي ان يقف ما بين محمد و نور :
سامر – محمد – عمر – نور

الآن فأن لدينا ستة احتمالات سابقة يمكن للأصدقاء الثلاثة أن يتخذوها و لدينا الآن أربع احتمالات جديدة بعد ان انضم عمر إليهم و بناءً على طريقة حساب الاحتمالات فإن جميع الاحتمالات المتاحة لهؤلاء الأصدقاء الأربعة تساوي 6×4=24
أربعة و عشرين احتمالاً ممكناً ناتجة عن جداء ستة في أربعة .
□ هل لديك شك في طريقة حساب الاحتمالات هذه ؟
هل تعتقد بأن احتمالات الممكنة لا تصل إلى أربعة و عشرين احتمالاً ؟
حسناً دعنا نتأكد من ذلك الأمر بشكلٍ عملي :
□ الاحتمالات :
عمر – محمد – نور – سامر
عمر – نور – محمد – سامر
عمر-نور-سامر -محمد
عمر – سامر – نور – محمد
عمر – سامر – محمد – نور
عمر – محمد –سامر –نور
محمد- عمر- نور – سامر
محمد- نور – عمر –سامر
محمد- نور – سامر –عمر
محمد- عمر – سامر- نور
محمد – سامر – عمر- نور
محمد- سامر – نور- عمر
سامر- محمد- عمر –نور
سامر – محمد-نور –عمر
سامر – نور- محمد –عمر
سامر- نور – عمر – محمد
سامر – عمر –محمد – نور
سامر – عمر – نور – محمد
نور – محمد – عمر – سامر
نور – محمد – سامر – عمر
نور – عمر – سامر – محمد
نور – عمر – محمد – سامر
نور – سامر – محمد- عمر
نور – سامر – عمر – محمد

أربعة و عشرين احتمالاً – إذا طريقة حساب الاحتمالات صحيحة .
يمكنك أن تكتب الأسماء الأربعة على قطع ورق و أن تصنع منها أكبر عددٍ ممكن من المصفوفات على شرط أن تتألف كل مصفوفة من أربعة أسماء متوضعة على نسقٍ واحد و أن لا يكون هنالك تشابه بين مصفوفة و أخرى .
و بشكلٍ مختصر فإن بإمكاننا أن نحسب الاحتمالات بالنسبة لثلاثة اشخاص او ثلاثة أشياء على الشكل التالي :
1×2×3=6
ستة احتمالات
و يمكننا ببساطة ان نحسب الاحتمالات الممكنة بالنسبة لأربعة أشخاص أو اربعة أشياء على الشكل التالي :
1×2×3×4=24
كما مرت معنا سابقاً
و يمكننا حساب الاحتمالات الممكنة بالنسبة لخمسة أشخاص أو خمسة أشياء على الشكل التالي :
1×2×3×4×5=120
لنتأكد من صحة هذا الأمر :
لنفترض بأن صديقاً جديداً انضم إلى الأصدقاء الأربعة و اسمه مجد , ما هي الاحتمالات التي يمكن أن يظهر فيها مجد في الصورة مع أصدقائه الأربعة :
الاحتمال الأول : أن يقف في أقصى اليمين .
الاحتمال الثاني : أن يقف بعد الأول (من اليمين)
الاحتمال الثالث: أن يقف بعد الثاني .
الاحتمال الرابع : أن يقف بعد الثالث .
الاحتمال الخامس : أن يقف بعد الرابع ( في أقصى اليسار)
لدينا خمسة احتمالات و كان لدينا 24 احتمال قبل وصول مجد /
5×24=120
120 احتمال .
و أذا انضم للمجموعة صديقٌ جديد , أي في حال أصبح هنالك ستة أصدقاء فإننا نحسب الاحتمالات الممكنة على الشكل التالي :
1×2×3×4×5×6=720
لنتأكد من الأمر :
نفترض بأن صديقاً جديداً هو عبيدة قد انضم إلى المجموعة ليلتقط صورة معهم فما هي الاحتمالات المتاحة أمامه :
عبيدة – مجد – محمد – عمر – نور – سامر
مجد – عبيدة – محمد – عمر – نور – سامر
مجد – محمد – عبيدة – عمر – نور – سامر
مجد – محمد – عمر – عبيدة – نور – سامر
مجد – محمد – عمر – نور – عبيدة – سامر
مجد – محمد – عمر – نور – سامر – عبيدة
لدينا ستة احتمالات و كان لدينا سابقاً 120 احتمال .
6×120=720
أي أن هنالك 720 احتمال للمواقع التي يمكن أن يتخذها ستة أصدقاء عندما يقفون بجوار بعضهن البعض امام عدسة الكاميرة.
النتيجة صحيحة .
1×2×3×4×5×6=720

□ لو كان هنالك عشرة أصدقاء يريدون التقاط صور إلى جانب بعضهم البعض فإننا ببساطة نحسب الاحتمالات الممكنة على الشكل التالي :
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=362880
هنالك 362880 احتمال متاحة أمام عشرة أشخاص حتى يلتقطوا صوراً بجوار بعضهم البعض على نسقٍ واحد و وجوههم متجهة نحو عدسة الكاميرة .

■ لدينا أربع سيارات و كراج مؤلف من عشر مواقف لوقوف السيارات , ماهي جميع الاحتمالات المتاحة لنا لإيقاف تلك السيارات في تلك المواقف العشرة ؟
بدايةً نحسب الاحتمالات المتاحة بالنسبة للسيارات الأربعة بالنسبة لبعضها البعض و فق الطريقة المعتمدة لحساب الاحتمالات :
أربع سيارات :
1×2×3×4=24
24 احتمالاً – لنتأكد بشكل عملي ملموس من مصداقية هذه الطريقة في الحساب :
مرسيدس – تويوتا – كيا – كاديلاك
مرسيدس- كيا – تويوتا – كاديلاك
مرسيدس – كاديلاك – تويوتا –كيا
مرسيدس –كاديلاك – كيا – تويوتا
مرسيدس – كيا – كاديلاك – تويوتا
مرسيدس – تويوتا – كاديلاك – كيا
تويوتا – مرسيدس – كيا – كاديلاك
تويوتا –مرسيدس – كاديلاك – تويوتا
تويوتا – كيا – مرسيدس – كاديلاك
تويوتا – كيا – كاديلاك – مرسيدس
تويوتا – كاديلاك – كيا – مرسيدس
تويوتا – كاديلاك – مرسيدس – كيا
كيا – مرسيدس – كاديلاك – تويوتا
كيا – مرسيدس – تويوتا – كاديلاك
كيا – تويوتا- مرسيدس – كاديلاك
كيا – تويوتا- كاديلاك – مرسيدس
كيا – كاديلاك – تويوتا – مرسيدس
كيا – كاديلاك – مرسيدس – تويوتا
كاديلاك – كيا – مرسيدس – تويوتا
كاديلاك – كيا – تويوتا – مرسيدس
كاديلاك – مرسيدس- كيا – تويوتا
كاديلاك – مرسيدس – تويوتا- كيا
كاديلاك – كيا – تويوتا – مرسيدس
كاديلاك – كيا – مرسيدس- تويوتا

24 احتمال – الطريقة صحيحة
و لو كان لدينا خمس سيارات لحسبنا الاحتمالات الممكنة كالاتي :
1×2×3×4×5=
و لو كان لدينا ست سيارات لحسبنا الاحتمالات الممكنة على الشكل التالي :
1×2×3×4×5×6=
و هكذا …
الآن لدينا عشر مواقف للسيارات في الكراج فما هي الاحتمالات الممكنة لوقوف تلك السيارات الأربعة في تلك المواقف ؟
مثلاً :
كاديلاك – موقف فارغ – مرسيدس – موقف فارغ- تويوتا- موقف فارغ – كيا- موقف فارغ- موقف فارغ – موقف فارغ …
و ما إلى ذلك من الاحتمالات …
لكي نعرف ذلك الأمر فإننا نضرب الاحتمالات الممكنة بالنسبة لأربع سيارات و هي 24 احتمالاً كما سبق لنا أن قمنا بحسابها بعدد المواقف و هي هنا عشرة مواقف :
24×10=240
أي أن هنالك 240 احتمال متاحة أمامنا للكيفية التي يمكن أن نصف فيها أربع سيارات في كراج ( مرآب) مؤلف من عشرة مواقف .

الآن لنفترض بأن هنالك ست شاحنات صغيرة قد وصلت إلى الكراج – ماهي الاحتمالات التي يمكن لهذه الشاحنات الستة أن تقف فيها في الكراج بالنسبة لبعضها البعض و بالنسبة للسيارات الأربعة التي كانت موجودة سابقاً في الكراج ؟
أولاً نحسب الاحتمالات الممكنة بالنسبة لهذه الشاحنات الستة :
1×2×3×4×5×6=720
إذا لدينا 720 احتمال للكيفية التي يمكن أن تقف فيها الشاحنات الستة بالنسبة لبعضها البعض .
الآن ما هي الاحتمالات المتاحة لهذه الشاحنات الستة أن تقف فيها بالنسبة لبعضها البعض و بالنسبة للسيارات الأربعة الموجودة سابقاً في المواقف العشرة الموجودة في الكراج ؟
نحن كنا سابقاً قد حسبنا الاحتمالات المتاحة أمام أربع سيارات في عشر مواقف :
24×10=240
الاحتمالات المتاحة لهذه الشاحنات الستة أن تقف فيها بالنسبة لبعضها البعض و بالنسبة للسيارات الأربعة الموجودة سابقاً في المواقف العشرة الموجودة في الكراج هي :
240×720=172800
172800 هي الاحتمالات المتاحة أمام أربع سيارات و ست شاحنات لكيفية الوقوف في كراج يحوي عشرة مواقف.

■ ملخص كيفية حساب الاحتمالات :
□ لحساب الاحتمالات الممكنة بالنسبة لعدة أشياء فإننا نضرب أعداد تلك الأشياء ببعضها البعض :
مثال الاحتمالات المتاحة أمام خمس طائرات =
1×2×3×4×5=120
□ لحساب الاحتمالات الممكنة بالنسبة لعدة أشياء بالنسبة لعدة خاناتٍ أو مواضع فإننا نضرب عدد الاحتمالات الممكنة بالنسبة لتلك الأشياء في عدد الخانات المتاحة :
مثال ماهي الاحتمالات الممكنة لصف خمس طائرات في مطار يحوي خمسة مرابض للطائرات ؟
120×5=600
600 احتمال
□ إذا قمنا بحساب الاحتمالات المتاحة أمام عددٍ معينٍ من الأشياء في مواضع أو خاناتٍ معينة ثم أضيفت أشياء جديدة و طلب منا أن نحسب الاحتمالات الممكنة لتموضع الأشياء الجديدة بالنسبة للأشياء القديمة في الخانات المتاحة فإننا نقوم بضرب الاحتمالات المتاحة أمام الأشياء القديمة بالاحتمالات المتاحة أمام الأشياء الجديدة .
مثال :
حاملة طائرات تحوي 12 منصة ً لهبوط الطائرات على سطحها , و على سطحها تجثم خمس طائرات – ماهي الاحتمالات المتاحة أمام تلك الطائرات الخمسة المتعلقة بالكيفية التي يمكن أن تجثم فيها على تلك المنصات الاثني عشر ؟
نحسب الاحتمالات المتاحة لتموضع خمس طائرات بالنسبة لبعضها البعض بالشكل التالي:
1×2×3×4×5=120
هنالك 120 احتمال لطرق تموضع الطائرات الخمسة بالنسبة إلى بعضها البعض .
الان نحسب الاحتمالات المتاحة أمام هذه الطائرات الخمسة لكيفية وقوفها في المرابض الاثني عشر الموجودة في حاملة الطائرات و ذلك بضرب الاحتمالات المتاحة امام الطائرات الخمسة في عدد الخانات أو المواضع :
120×12=1440
الرقم 120 يمثل الاحتمالات المتاحة لترتيب الطائرات الخمسة بالنسبة لبعضها البعض.
الرقم 12 هو عدد المنصات الموجودة على سطح حاملة الطائرات.
1440 هو عدد الاحتمالات المتاحة أمام خمس طائرات للوقوف في 12 منصة للطائرات .
الآن هبطت سبع طائرات جديدة على حاملة الطائرات – ماهي الاحتمالات المتاحة بالنسبة للطائرات السبعة الجديدة و التي يمكن أن تتوضع بها بالنسبة لبعضها البعض و بالنسبة للطائرات الخمسة القديمة الموجودة على سطح حاملة الطائرات في الخانات الاثني عشر المتاحة على سطح حاملة الطائرات؟
نحسب الاحتمالات المتاحة امام الطائرات السبعة بالنسبة لبعضها البعض فنقول:
1×2×3×4×5×6×7=5040
5040 هي الاحتمالات المتاحة امام سبع طائرات .
الآن نضرب رقم الاحتمالات هذا بعدد الاحتمالات المتاحة امام الطائرات الخمسة القديمة في المرابض الاثني عشر أي 1440 فنقول :
1440×5040=7257600
7257600 هي الاحتمالات المتاحة أمام 12 طائرة لكيفية التموضع على سطح حاملة طائرات تحوي 12 مربضاً للطائرات .

■ لاحظ انه عندما يكون لدينا عدة أشياء و نريد أن نحسب عدد الاحتمالات المتاحة لترتيب تلك الأشياء مع بعضها البعض فإن عدد تلك الأشياء يدل ضمنياً على عدد الخانات المتاحة كذلك
فإذا طلب منا أن نحسب الاحتمالات الممكنة لترتيب سبع سيارات في مكانٍ ما فإن هذا يعني بأن لدينا سبع أماكن فقط لترتيب تلك السيارات و علينا أن نبني كل احتمالاتنا على وجود سبعة مواضع فقط لإيقاف السيارات فنقول بأن الاحتمالات المتوفرة هي :
1×2×3×4×5×6×7=5040
لدينا 5040 احتمالاً لترتيب تلك السيارات السبعة .
و لكنه إن طلب مني أن أرتب تلك الأشياء في 12 موضعاً , أي في حال كان عدد الخانات أو المواضع أكبر من عدد الأشياء فإنني أضرب عدد الاحتمالات الممكنة لدي في عدد الخانات فأقول :
5040×12=60480

■ ما هي احتمالات المتاحة لتكوين و اكتشاف كلمة سر جهاز كمبيوتر ؟
لدينا 26 حرف إنكليزي و 10 أرقام و 15 رمز على الأقل يمكن استخدامها , أي أنه لدينا 51 عنصراً على أقل تقدير نضربها ببعضها البعض على الشكل التالي :
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×12………….×51=
هو عدد الاحتمالات المتوفرة .
□ هل يعرف أحدكم طريقة تمكننا من حساب الاحتمالات باستخدام الالة الحاسبة دون أن نحتاج إلى إدخال كل الأرقام بشكلٍ يدوي؟

factorial■ النتيجة العاملية –التحليل إلى العوامل
النتيجة العاملية او نتيجة التحليل إلى العوامل factorial هي النتيجة التي نحصل عليها عندما نضرب العدد بكل الأعداد الأقل منه .
مثال : النتيجة العاملية للعدد أربعة هي ناتج ضرب العدد أربعة بكل الأعداد الأدنى منه أي :
1×2×3×4=24
العدد 24 هو النتيجة العاملية factorial للعدد أربعة.

■ قاعدة تقريبية تقول بأن الإنسان يسير في الساعة الواحدة تقريباً عدداً من الكيلومترات يساوي تقريباً عدد الخطوات التي يخطوها في ثلاث ثواني .

■ أي عدد مرفوع للقوة صفر يساوي الواحد :
واحد مرفوع للقوة صفر = واحد
3 مرفوع للقوة صفر = واحد
2 مرفوع للقوة صفر = واحد
4 مرفوعة للقوة صفر = 1
5 مرفوعة للقوة صفر = 1

■2n تعني n×2 أي عدد مضروب باثنين.
□ n+1 تعني العدد التالي .
n-1□ تعني العدد السابق .

■ إذا ضربنا العدد السابق لأي عدد بالعدد التالي له فإننا نحصل على مربع ذلك العدد ناقص واحد و الصيغة الرياضية لهذا الكلام هي :
(n-1) (n+2)=n2 -1
(n-1) تعني العدد السابق لعددٍ ما هو العدد n
(n+2) تعني العدد التالي لعددٍ ما هو العدد n
n2 أي العدد مرفوع للقوة 2 أو مربع ذلك العدد .
أمثلة :
لدينا العدد 6 – العدد السابق له هو العدد 5 و العدد التالي له هو العدد 7 , الآن :
5×7=35+1 = 36
36 هو مربع العدد 6 .

■ خوارزمية إقليدس :
الهدف من هذه الخوارزمية : العثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين .
حساب هذه الخوارزمية:
□ نطرح العددين الذين نرغب بإيجاد قاسمهما المشترك الأكبر .
□ نحذف العدد الأكبر و نبقي ناتج عملية الطرح .
□ نحذف العدد الثاني من ناتج عملية الطرح .
□ نكرر العملية حتى نحصل على عددين متماثلين .

■ اختر رقماً مؤلفاً من ثلاثة أعداد – أي رقم يخطر ببالك .
ليكن مثلاً 555
□ اكتب الرقم الذي اخترته مرة ثانية ليصبح لديك رقم مؤلف من ستة أعداد .
555555
□ اقسم هذا العدد على سبعة :
555555÷7=79365
أياً يكن الرقم الذي اخترته فإنه يقبل القسمة على العدد سبعة دون ان يكون هنالك باقي.
□ اقسم الناتج على 11 :
79365÷11=7215
أياً يكن ذلك الرقم فإنه يقبل القسمة على 11 دون باقي .
اقسم ناتج القسمة على العدد 13 مثلاً :
7215÷13=555
ناتج القسمة هو 555 و هو ذاته الرقم الذي اخترته في البداية .

في الحالة السابقة عندما كررنا الرقم 555 و جعلناه 555555 فهذا يعني بأننا ضربناه في الرقم 1001 .
555 ×1001=555555
وعندما قسمنا الناتج على الأعداد 11 و 13 و 7 فهذا يعني باننا قسمنا هذا العدد على 1001 لأن 11×13×7= 1001 :
و باختصار فإن ما فعلناه هو اننا ضربنا الرقم الذي اخترناه برقمٍ معين ثم قسمناه على العدد ذاته و لذلك من الطبيعي أن تكون النتيجة هي الرقم ذاته الذي اخترناه أول مرة أي الرقم 555 .

■ اختر رقماً مؤلفاً من عدة أعداد .
و ليكن ذلك الرقم مثلاً 5555 .
□ جد مجموع الأعداد المؤلفة لهذا الرقم .
5+5+5+5=20
أطرح مجموع الأعداد من الرقم الذي اخترته .
يعني نطرح مجموع أعداد الرقم 5555 من الرقم الذي اخترناه , أي أننا نطرح 20 من 5555 :
5555-20= 5535
□ قم بحذف أي عدد من ناتج الطرح و اذكر ناتج جمع الأعداد المتبقية :
لنفترض بانك حذفت العدد 3 فإن ناتج الأعداد المتبقية هو 15 .
5+5+5=15
□ الآن نبحث عن أقرب عدد إذا اضفناه إلى 15 يقبل القسمة على العدد 9 دون باقي .
ما هو أقرب رقم من الرقم 15 يقبل القسمة على العدد 9 دون باقي ؟
إنه الرقم 18 .
18÷2=9
ما هو العدد الذي أضفناه إلى الرقم 15 حتى نحصل على الرقم 18 ؟
إنه العدد ثلاثة 3 .
■ العدد الذي قمت بحذفه هو العدد ثلاثة .

كيف حدث هذا الأمر ؟
لقد طبقنا القاعدة الرياضية التي تقول بأننا إذا طرحنا من رقمٍ ما مجموع الأعداد المكونة له فلا يتبقى لدينا إلا العدد الذي يقبل القسمة على تسعة .

مزيد من الأمثلة :
ليكن لدينا الرقم 1974 .
ما هو مجموع الأعداد المكونة له ؟
1+9+7+4= 21
الآن نطرح العدد 21 من العدد 1974 .
1974 – 21 = 1953
لنفترض بأننا حذفنا العدد 9 فتتبقى لدينا الأعداد 153 .
1+3+5= 9
ما هو أقرب عدد يقبل القسمة على العدد 9دون باقي ؟
إنه العدد 9 , وهو العدد ذاته الذي قمنا بحذفه .

■ طرح الرقم من مقلوبه :
□ قم باختيار رقم ما مؤلف من عدة أعداد :
ليكن ذلك الرقم هو 2005 .
قم بعكس هذا الرقم :
2005 تصبح 5002 .
اطرح الرقم الأصغر من معكوسه :
5002-2005= 2997
ناتج عملية الطرح هو 2997
الآن قم بحذف عددٍ ما من ناتج الطرح و ليكن ذلك العدد هو العدد 7 سبعة .
يتبقى لدينا الرقم 299 .
اجمع الأعداد المكونة للرقم 299 مع بعضها البعض .
2+9+9= 20
ناتج جمع الأعداد المكونة مع بعضها البعض هو الرقم 20 .
الآن ما هو أقل عدد يمكن أن نضيفه للرقم 20 حتى نحصل على رقمٍ يقبل القسمة على العدد تسعة.
صحيح إنه العدد سبعة .
7+20=27
لا تنسى بأن العدد الذي سبق لنا ان قمنا بحذفه هو العدد سبعة .
الرقم 27 هو أقرب رقم (تصاعدي) من الرقم 20 يقبل القسمة على العدد تسعة دون باقي:
27÷9=3

■ يمكنك أن تعرف العدد الذي تم حذفه و لكن عليك ان تضع شرطين اثنين و هما :
□ أن لا ينتهي الرقم بالصفر .
□ أن لا يقل الفارق بين أول و آخر رقم عن اثنين .

□ نختار رقماً يحقق الشرطين السابقين و ليكن الرقم 852 : وهو رقمٌ يحقق الشرطين السابقين فهو لا ينتهي بصفر كما ان الفرق بين أول عدد و آخر عدد أكبر من اثنين.
□ نعكس الرقم 852 فيصبح 258 .
□ اطرح الرقم من معكوسه 852 – 258 = 594
□ احذف رقماً ما من ناتج عملية الطرح , و ليكن مثلاً العدد تسعة 9 .
يبقى لدينا العددين 4و 5 .
نجمعهما مع بعضهما البعض 4+5 = 9 .
ما هو أقرب عدد رقم من العدد تسعة يقبل القسمة على العدد تسعة ؟
إنه العدد تسعة وهو ذاته العدد الذي قمنا بحذفه.

■ عندما تختار أي رقمٍ ثلاثي لا ينتهي بالصفر ولا يقل الفرق بين أول عددٍ فيه و أخر عددٍ فيه عن 2 فإنك إذا عكست ذلك الرقم و طرحته من معكوسه ثم إذا عكست نتيجة الطرح و جمعتها مع معكوسها فإنك تحصل دائماً على العدد 1089 .
■ مثال :
□ اختر أي رقم ثلاثي لا ينتهي بالصفر على أن لا يقل الفرق بين أول عددٍ فيه و آخر عددٍ منه عن 2 :
ليكن ذلك الرقم 523 مثلاً .
□ اعكس الرقم الذي اخترته فتحصل على 325 .
□ اطرح العدد من معكوسه :
523 – 325 = 198
□ اعكس نتيجة الطرح 198 فتحصل على الرقم 891 .
□ اجمع نتيجة الطرح مع معكوسها :
891+198=1089
حصلنا على الرقم 1098 .
■ جرب هذه الطريقة مع أرقام أخرى تحقق الشرطين و ستحصل دائماً على الرقم 1098 .

■ تم بعون الله
د.عمار شرقية

plant.kingdom1111@gmail.com

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

شعار وردبرس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.