المملكة النباتية – Plant kingdom

يسمح للمؤسسات و الأفراد بإعادة نشر الدراسات الموجودة على هذا الموقع شريطة عدم إجراء أي تعديل عليها .

الرياضيات السحرية للأطفال 2

بسم الله الرحمن الرحيم

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرياضيات السحرية للأطفال2

ترجمة عمار شرقية

الهدف الرئيسي من هذه السلسلة يتمثل في أن يستعمل الطفل الآلة الحاسبة حتى يتحقق بنفسه من صحة الحسابات الواردة فيها و لكي يطبق القواعد الموجودة فيها على أمثلة أخرى بحيث يتقن بطريقة لاشعورية أكبر قدر ممكن من المهارات الرياضية  .

الخصائص السحرية للعدد 9

عرف الأوروبيون النظام العشري في العد و الأرقام العربية –الهندية Hindu–Arabic لأول مرة في العام 1202 و ذلك عبر كتاب Liber abaci لمؤلفه الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي Leonardo Fibonacci   و قبل ذلك كانت الأرقام الرومانية البدائية و المعقدة هي المستخدمة في أوروبا و كذلك فإن أوروبا لم تعرف الصفر إلا من خلال فيبوناتشي الذي أتى به من المسلمين و قبل ذلك لم يكن لدى الأوروبيين أي فكرة عن الصفر و لكي تتبين أهمية الصفر تخيل إمكانية إجراء أي عملية رياضية أو كتابة أية معادلة كيميائية أو فيزيائية دون الصفر   .

لقد كان فيبوناتشي مفتوناً بالتقدم الذي وصل إليه علم الجبر في  العالم الإسلامي وقد  كان فيبوناتشي أول من أدخل إلى أوروبا طريقة إسقاط العدد تسعة

casting out nines وهي الطريقة التي ابتكرها المسلمون للتأكد من صحة العمليات الحسابية وهي الطريقة التي ذكرتها بشكل مفصل سابقاً ( راجع الجزء الأول ) .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لنتأكد من صحة عملية الضرب التالية :

734 × 879 = 645186

نجمع الأعداد المكونة للحد الأول 734  مع بعضها البعض 7+4+3 = 14

نجمع الأعداد المكونة للحد الثاني 879  مع بعضها البعض 9 + 7+8 = 24

نجمع الأعداد المكونة للنتيجة 645186

6+8+1+5+4+6= 30

نتيجة جمع أعداد الحد الأول هي 14  أي 1 +4 = 5

نتيجة جمع أعداد الحد الثاني هي 24 أي 2 + 4 = 6

و ناتج جمع  الأعداد المكونة للنتيجة هو 30

و كما تعلمون فإن 5×6 = 30 و هذا يعني أن عملية الضرب صحيحة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لنحاول إعادة الخطوات السابقة مع حذف العدد 9

لنتأكد من صحة عملية الضرب التالية :

734 × 879 = 645186

نجمع الأعداد المكونة للحد الأول 734  مع بعضها البعض 7+4+3 = 14

نجمع الأعداد المكونة للحد الثاني 879    مع بعضها البعض و نحذف العدد 9

7+8 = 15

نجمع الأعداد المكونة للنتيجة 645186 و نحذف العدد 9 و مكوناته

8 + 1 = 9 لذلك نحذف هذين العددين .

5+4 = 9 لذلك نحذف هذين العددين

الآن بقي لدينا العددين  6 و 6

6+6= 12 و العدد 12 عبارة عن  1+2 = 3

نتيجة جمع أعداد الحد الأول هي 14  أي 1 +4 = 5

نتيجة جمع أعداد الحد الثاني هي 15 أي 5 + 1 = 6

و ناتج جمع  الأعداد المكونة للنتيجة هو 3

و كما تعلمون فإن 5×6 = 30 و الرقم 30 عبارة عن 3+0 = 3 و هذا يعني أن عملية الضرب صحيحة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لنتأكد من صحة عملية الضرب التالية :

56589 × 983678 = 55665354342

نتيجة جمع أعداد الحد الأول هي 5 + 6 + 5 + 8 + 9 = 33

33 = 3 + 3 = 6

نتيجة جمع أعداد الحد الثاني هي 9 + 8 + 3 + 6 + 7 + 8 = 41

4 + 1 = 5

و ناتج جمع  الأعداد المكونة للنتيجة هو

5 + 5 + 6 + 6 + 5 + 3 + 5 + 4 + 3 + 4 + 2 = 48

48 عبارة  عن  4 + 8 = 12

12 عبارة عن 1 + 2 = 3

الآن لنختبر حدي عملية الضرب و نتيجة عملية الضرب بعد الاختزال

6 × 5 = 30  و الرقم 30 عبارة عن 3+0 = 3 و هذا يعني أن عملية الضرب السابقة صحيحة .

من أين جئنا بالعددين 5 و 6 ؟

العدد 6 هو نتيجة اختزال الحد الأول اما العدد 5 فهو نتيجة اختزال الحد الثاني أما الرقم 30 فهو نتيجة اختزال نتيجة عملية الضرب و بالتالي فإن عملية الذرب التالية :

6 × 5 = 30

ما هي إلا اختزال لعملية الضرب الأساسية 56589 × 983678 = 55665354342

هل كل شيء واضح ؟

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لنحاول إعادة الخطوات السابقة مع حذف العدد 9

لنتأكد من صحة عملية الضرب التالية :

56589 × 983678 = 55665354342

نحذف العدد 9 من الحد الأول

نتيجة جمع أعداد الحد الأول هي 5 + 6 + 5 + 8 = 24 و الرقم 24 عبارة عن

4+2 = 6

نحذف العدد 9  و مكوناته من الحد الثاني

نتيجة جمع أعداد الحد الثاني بعد حذف العدد 9 و العددين 3 و 6 لأن 3+6 = 9  هي

8 + 7 + 8 = 23 و الرقم 23 عبارة عن 3+2

3 + 2 = 5

و ناتج جمع  الأعداد المكونة للنتيجة بعد حذف العدد 9 و مكوناته هو

5 + 5 + 2 = 12 و الرقم 12 عبارة عن 1+2

2+1 = 3

في النتيجة 55665354342 لدينا 4+5 = 9 لذلك نحذفهما و 4+5 = 90 لذلك نحذفهما و 3+6 = 9 لذلك نحذفهما و 3+6 = 9 لذلك نحذفهما فيبقى لدينا 5+5+2 = 12 كما ذكرت سابقاً و الرقم 12 عبارة عن 1+2 = 3

الآن بعد أن اختزلنا عملية الضرب السابقة بقي لدينا 5 من الحد الأول و 6 من الحد الثاني و 30 من النتيجة فأ صبحت بذلك عملية الضرب 56589 × 983678 = 55665354342

مختزلة و مبسطة إلى الشكل التالي :

5 ×6 = 30

و الرقم 30 عبارة عن 3 +0 = 3

إذاً عملية الضرب صحيحة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرقم السحري 22 :

إختر أي رقم يتألف من 3أعداد شريطة ألا تكون تلك الأعداد متماثلة :

مثلاً الرقم   365

شكل من الأعداد المكونة للرقم الذي اخترته (365 ) كل الاحتمالات الممكنة المكونة من عددين  .

36 – 35 – 63 – 53 – 65 – 56

اجمع هذه الأرقام مع بعضها البعض :

36 + 35 + 63 + 53 + 65 + 56 = 308

اجمع أعداد الرقم الذي اخترته مع بعضها البعض أي الرقم (365 )

3 + 6 + 5 = 14

قم بقسمة  مجموع الأرقام  الثنائية الت شكلتها من  الرقم  365 الذي اخترته على مجموع الرقم الأصلي أي 14 و ستكون النتيجة 22 .

308 ÷14 = 22

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

أي رقم ثنائي ينتهي بالعدد 9 فإنه يمثل حاصل جمع كل من العددين الذين يشكلانه مضافاً إلى حاصل ضرب العددين الذين يشكلانه .

19 = (1 × 9) + (1 + 9)

9 +10 = 19

29 = (2 × 9) + (2 + 9)

18 + 11 = 29

39 = (3 × 9) + (3 + 9)

27 + 12 = 39

49 = (4 × 9) + (4 + 9)

59 = (5 × 9) + (5 + 9)

69 = (6 × 9) + (6 + 9)

79 = (7 × 9) + (7 + 9)

89 = (8 × 9) + (8 + 9)

99 = (9 × 9) + (9 + 9)

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لاحظ كذلك أن :

109 = (10 × 9) + (10 + 9)

119 = (11 × 9) + (11 + 9)

129 = (12 × 9) + (12 + 9)

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرياضيات الذكية :

لدينا 25 فريق كرة قدم و طلب منا أن نحدد عدد المباريات التي يتوجب على هذه الفرق أن تلعبها مع بعضها البعض حتى نتوصل إلى بطل للدوري بحيث يخرج الفريق من الدوري عند أول خسارة يخسرها .

المعطيات :

25 فريق

يخرج الفريق من الدوري عند أول خسارة .

في كل مباراة لابد من خاسر و رابح ولا مجال للتعادل .

كم عدد المباريات التي يتطلبها التوصل إلى بطل لهذا الدوري ؟

ملاحظة : حاول حل هذه المسألة بالطرق التي تراها مناسبة قبل أن تنظر إلى الإجابة .

الحل التقليدي :

أولاً لدينا 25 فريق نأخذ منها 24 فريق و نقسمهم إلى مجموعتين كل مجموعة تتألف من 12 فريق و هكذا تلعب هاتين المجموعتين 12 مبارة  و نخرج الفريق رقم 25 بالقرعة العلنية  مؤقتاً لأنه لا نظير له , و يمكن أن نخرج بطل الموسم الماضي تكريماً له .

12 فريق ×12 فريق  أي 12 مباراة

يفوز 12 فريق و يخسر 12 فريق

تلعب الفرق الفائزة الإثنى عشر  مع بعضها 6 مباريات

تفوز 6 فرق و تخسر 6 فرق

تلعب الفرق الفائزة الست  مع بعضها 3 مباريات

تفوز 3 فرق و تخسر 3 فرق

الآن ندخل الفريق رقم 25 إلى هذه المجموعة فيصبح لدينا 4 فرق

تلعب هذه الفرق الأربعة مع بعضها مبارتين

يفوز فريقين و يخسر فريقين

يلعب الفريقين الفائزين مع بعضهما المبارة النهائية .

الآن لدينا 12 مبارة + 6مباراة +3مباريات + مباريتين + المباراة النهائية

12 +6+3+2+1 = 24 مباراة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

طريقة الحل الذكية :

مفتاح هذه الطريقة هو التركيز على الفرق الخاسرة و ليس على الفرق الرابحة.

كم خاسراً يتوجب أن يكون في دوري يتألف من 25 فريق حتى يكون هنالك بطل واحد إذا كان الفريق يخرج من الدوري بعد خسارة واحدة ؟

الإجابة  24 خاسر بالطبع .

كم مبارة يتوجب لعبها حتى يكون هنالك 24 خاسر ؟

الإجابة 24 مبارة .

إذاً كم مبارة يتوجب على 25 فريق أن يلعبوها حتى يكون هنالك رابح واحد ؟

الإجابة 24 مبارة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرقم السحري 1001

إضرب الرقم السحري 1001 بأي رقم يتألف من 3 أعداد .

1001 × 111 =  111111

1001× 222 = 222222

1001 ×333 = 333333

1001 ×444 = 444444

1001 × 555 = 555555

1001 ×666 = 666666

1001 ×777 = 777777

1001 × 888 = 888888

1001 ×9 = 999999

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

من أشهر الرياضيين الغربيين الذين اهتموا بدراسة العلاقة الخفية بين الأرقام الرياضي كارل فريدريك غوس Carl Friedrich Gauss (1777–1855) .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

رفع العدد لقوة معينة :

نعني بمفهوم الرفع للقوة أن هذا الرقم مضروب بنفسه عدد معين من المرات و نعبر عن الرفع للقوة بوضع رقم صغير فوق ذلك الرقم أو بوضع إشارة ^ أمام ذلك الرقم .

مثال :

94 لاحظ كيف وضعنا 4 صغيرة فوق العدد 9 و نعني بهذه الأربعة ان العدد 9 مضروب في نفسه 4 مرات أي أن 94= 9 ×9 ×9 ×9

94= 9 ×9 ×9 ×9 = 6561

9 ^4 = 94= 9 ×9 ×9 ×9

9 ^4= 9 ×9 ×9 ×9 = 6561

لاحظ إشارة  الرفع للقوة ^

تربيع الرقم يعني أن نضرب الرقم بنفسه مرتين أما تكعيب الرقم فيعني أن نضرب الرقم بنفسه 3 مرات و نستخدم التربيع في قياس المساحة أما التكعيب فنستخدمه في قياس الأحجام .

لا تخلط بين الرفع للقوة و بين الضرب :

9 ×4 = 36

أما 94 فتساوي 6561

إشارة الرفع للقوة في الآلات الحاسبة هي ^ و لكي نحسب نتيجة قوة أي رقم فإننا ندخل ذلك الرقم إلى الآلة الحاسبة ثم نضغط على الزر XY ثم ندخل القوة التي نريد أن نرفع ذلك الرقم إليها  و نضغط  =

مثال : نريد أن نحسب نتيجة 89 .

ندخل الرقم 8 ثم نضغط الزر XY ثم ندخل الرقم 9 و نضغط = فنحصل على النتيجة .

ويمكن حساب القوة أو الأس بأن نضرب الرقم بنفسه عدة مرات فالرقم 89 هو عبارة عن ثمانية مضروبة في نفسها 9 مرات أي 8×8×8×8×8×8×8×8×8= 134217728

89 = 134217728

أو 8 ^ 9  = 134217728

و تحوي الآلة الحاسبة كذلك زر خاص لقياس مربع الأعداد وهذا الزر يدعى X2 ولكي نحسب مربع عدد ما فإننا ندخل ذلك الرقم إلى الآلة الحاسبة ثم نضغط الزر X2 ثم نضغط الزر =

فتظهر النتيجة على الشاشة .

مثال : نريد أن نحسب نتيجة 82 ( أو 8 ^2    أو 8 ×8)  .

ندخل الرقم 8 ثم نضغط الزر X2 ثم نضغط = فنحصل على النتيجة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

هنالك أرقام إذا جمعنا الأعداد المكونة لها ورفعنا نتيجة الجمع لقوة معينة أي إذا ضربنا ناتج الجمع بنفسه عدة مرات فإننا نحصل على تلك الأرقام كما في المثال التالي :

الرقم 81 يتألف من العددين 1 و 8 كما تعلمون  و إذا جمعنا هذين العددين  1+8 = 9

الآن  إذا رفعنا العدد 9 للقوة 2 أي إذا ضربناه بنفسه مرتين  فإننا نحصل على الرقم 81 .

81 = (1+8)2 =  29

الرقم 81 عبارة عن 1+8  مرفوعة للقوة 2 أي 9 ^ 2 أو 9 مرفوعة للقوة 2 ( 9 ×9 )

طبعاً 1+8 = 9

4913 = (4+9+1+3 )3 = 317

الرقم 4913 هو عبارة عن 4+9+1+3 مرفوعة للقوة 3 أي 17 ^ 3 أو17 مرفوعة للقوة 3

( 17 ×17 ×17 )

بالطبع 4+9+1+3 = 17

8 مرفوعة للقوة 3 = 512 و في الوقت ذاته 5+2+1= 8

4913 = 173

17 مرفوعة للقوة 3 = 4913 و في الوقت ذاته فإن  3+1+9+4 = 17

5832 = 183

18 مرفوعة للقوة 3 = 5832 و في الوقت ذاته فإن  2+3+8+5 = 18

17576= 26 3

26 مرفوعة للقوة 3 = 17576 و في الوقت ذاته فإن  6+7+5+7+1 = 26

19,683= 273

27 مرفوعة للقوة 3 = 19683 و في الوقت ذاته فإن  3+8+6+9+1=27

2401= 74

7 مرفوعة للقوة 4 = 2,401 و في الوقت ذاته فإن  1+صفر+4+2 = 7

234256= 224

22 مرفوعة للقوة 4 = 234256و في الوقت ذاته فإن  6+5+2+4+3+2= 22

390625 = 254

25 مرفوعة للقوة 4 = 390625و في الوقت ذاته فإن  5+2+6+صفر+9+3= 25

614656= 284

28 مرفوعة للقوة 4 = 614656و في الوقت ذاته فإن  6+5+6+4+1+6= 28

1679616= 364

36 مرفوعة للقوة4 = 1679616و في الوقت ذاته فإن 6+1+6+9+7+6+1=36

17210368= 285

28 مرفوعة للقوة 5 = 17210368و في الوقت ذاته فإن 8+6+3+0+1+2+7+1=28

52521875= 355

35 مرفوعة للقوة 5 = 52521875و في الوقت ذاته فإن 5+7+8+1+2+5+2+5=35

60466176= 365

36 مرفوعة للقوة 5 = 60466176و في الوقت ذاته فإن 6+7+1+6+6+4+0+6=36

205962976= 465

46 مرفوعة للقوة 5 = 205962976و في الوقت ذاته فإن 6+7+9+2+6+9+5+0+2=46

34012224= 186

18 مرفوعة للقوة 6 = 34012224و في الوقت ذاته فإن 4+2+2+2+1+0+4+3=18

8303765625= 456

45 مرفوعة للقوة 6 = 8303765625 و في الوقت ذاته فإن 5+2+6+5+6+7+3+0+3+8= 45

24794911296= 546

54 مرفوعة للقوة 6 = 24794911296و في الوقت ذاته فإن 6+9+2+1+1+9+4+9+7+4+2=54

68719476736= 646

64 مرفوعة للقوة 6 = 68719476736و في الوقت ذاته فإن 6+3+7+6+7+4+9+1+7+8+6=64

612220032= 187

18 مرفوعة للقوة 7 = 612220032و في الوقت ذاته فإن 2+3+0+0+2+2+2+1+6=18

10460353203= 277

27 مرفوعة للقوة 7 = 10460353203و في الوقت ذاته فإن 3+0+2+3+5+3+0+6+4+0+1=27

27512614111= 317

31 مرفوعة للقوة 7 =  27512614111و في الوقت ذاته فإن 1+1+1+4+1+6+2+1+5+7+2=31

52523350144  = 347

34 مرفوعة للقوة 7 = 52523350144 و في الوقت ذاته فإن 4+4+1+0+5+3+3+2+5+2+5 = 34

271818611107= 437

43 مرفوعة للقوة 7 =   271818611107و في الوقت ذاته فإن  7+0+1+1+1+6+8+1+8+1+7+2= 43

1174711139837= 537

53 مرفوعة للقوة 7 = 1174711139837و في الوقت ذاته فإن 7+3+8+9+3+1+1+1+7+4+7+1+1=53

2207984167552= 587

58 مرفوعة للقوة 7 = 2207984167552و في الوقت ذاته فإن 2+5+5+7+6+1+4+8+9+7+0+2+2=58

6722988818432= 687

68 مرفوعة للقوة 7 = 6722988818432 و في الوقت ذاته فإن 2+3+4+8+1+8+8+8+9+2+2+7+6=68

20047612231936= 468

46 مرفوعة للقوة 8 = 20047612231936و في الوقت ذاته فإن 6+3+9+1+3+2+2+1+6+7+4+0+0+2+46

72301961339136= 548

54 مرفوعة للقوة 8 = 72301961339136 و في الوقت ذاته فإن 6+3+1+9+3+3+1+6+9+1+0+3+2+7=54

248155780267521= 638

63 مرفوعة للقوة 8 = 248155780267521 و في الوقت ذاته فإن 1+2+5+7+6+2+0+8+7+5+5+1+8+4+2=63

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

طرح الأرقام المرفوعة للقوة :

احسب نتيجة العملية التالية :

362 352 =

35 مرفوعة للقوة 3 – 36 مرفوعة للقوة 2

أي 35 ×35 – 36 ×36 =

لحساب مثل هذه العمليات نستخدم المعادلة  السحرية التالية :

X2 – Y2 = (X-Y ) (X+Y)

العدد الأول مرفوع للقوة 2 ناقص العدد الثاني المرفوع للقوة 2 = العدد الأول ناقص العدد الثاني × العدد الأول + العدد الثاني

طبعاً العلاقة بين القواس المتجاورة ( )  ( ) هي علاقة ضرب كما تعلمون .

الآن لنطبق المعادلة السابقة بشكل عملي :

362 352 = ( 36 -35 ) ( 36 +35 ) = (1 ) ( 71 ) = 71

إذاً    362 352 = 71

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

ملاحظة :

( 36 -35 ) ( 36 +35 ) = ( 36 -35 ) ×  ( 36 +35 )

العلاقة بين القواس المتجاورة ( )  ( ) هي علاقة ضرب

العلاقة بين الأرقام و الرموز المتجاورة هي كذلك علاقة ضرب

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

مثال آخر :

402 – 302 = ( 40 -30 ) ( 40+30 ) = ( 10 ) ( 70 ) = 10 ×70 = 700

إذاً 402 – 302 = 700

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

ركز جيداً  :

135 = 11+32 +53

135 = 1مرفوع للقوة واحد + 3 مرفوع للقوة 2 + 5 مرفوعة للقوة 3

175 = 11+ 72+53

175 = 1 مرفوع للقوة 1 + 7 مرفوعة للقوة 2 + 5 مرفوعة للقوة 3

518 = 51+ 12+ 83

518 = 5 مرفوعة للقوة 1 + 1 مرقوع للقوة 2 + 8 مرفوعة للقوة 3

598 = 51+92+83

598 = 5 مرفوعة للقوة 1 + 9 مرفوعة للقوة 2 + 8 مرفوعة للقوة 3 .

1306 = 11+ 32+03+64

1306 = 1 مرفوع للقوة 1 + 3 مرفوع للقوة 2 + صفر مرفوع للقوة 3 + 6 مرفوعة للقوة 4

1676 = 11+62+73+64

1676 = 1 مرفوع للقوة 1 +6 مرفوعة للقوة 2 +7 مرفوعة للقوة 3 +6 مرفوعة للقوة 4

2427= 21+42+23+74

2427 = 2 مرفوعة للقوة 1 + 4 مرفوعة للقوة 2 + 2 مرفوعة للقوة 3 + 7 مرفوعة للقوة 4 .

لاحظ أننا نرفع الرقم لقوة تماثل الخانة التي يشغلها بادئين من خانة الآلاف و المئات والعشرات و متجهين نحو خانة الآحاد فالرقم الأول نرفعه للقوة 1 و الرقم الثاني نرفعه للقوة 2 و الرقم الثالث نرفعه للقوة 3 و الرقم الرابع نرفعه للقوة 4 و هكذا .

₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪₪

إنتبه إلى هذه الأرقام المذهلة :

3435 = 33 +44+33 +55

الرقم 3435 = 3 مرفوعة للقوة 3 + 4 مرفوعة للقوة 4 + 3 مرفوعة للقوة 3 + 5 مرفوعة للقوة 5 .

438579088 = 44+33+88+55 +77 +99+00+88+88

الرقم 438579088 = 4 مرفوعة للقوة 4 + 3 مرفوعة للقوة 3 +8 مرفوعة للقوة 8 + 5 مرفوعة للقوة 5 + 7 مرفوعة للقوة 7 +9 مرفوعة للقوة 9 + صفر مرفوع للقوة صفر + 8 مرفوعة للقوة 8 + 8 مرفوعة للقوة 8 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

إنتبه إلى هذه الأرقام :

العدد 9 :

9+9 = 18 و 9 ×9 = 81

18 هي 81 معكوسة

الرقمين 3 و 24 :

3+ 24 = 27

3×24 = 72

72 هي 27 معكوسة

الرقمين 2 و 47 :

2+ 47 = 49

2 × 47 = 94

49 هي 94 معكوسة

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرقم السحري  1,089

إكتشاف الخصائص السحرية للرقم 1089

إختر أي رقم يتألف من 3 أعداد شريطة ألا يكون رقم الآحاد هو ذاته رقم المئات  وشريطة ألا ينتهي بالعدد صفرو ليكن الرقم 825 مثلاً .

إعكس هذا الرقم أي نعكس الرقم 825 فنحصل على الرقم  528.

نطرح الرقم من معكوسه كالآتي 825 − 528 = 297

الآن نقلب نتيجة الطرح أي الرقم 297 فنحصل على الرقم  792

الآن أضف الرقم 297 إلى معكوسه أي 792 و انتظر المفاجأة المذهلة

297 + 792 = 1089

لقد حصلنا على الرقم السحري  1089

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لنجرب رقماً آخر وهو الرقم 246

لنعكس هذا الرقم فنحصل على الرقم 642

نطرح 642 – 246 = 396

الآن نعكس نتيجة الطرح أي 396 فنحصل على الرقم 693

نجمع 396 +693 = 1089  وهو رقمنا السحري

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لنجرب الرقم 522 مثلاً

نعكس هذا الرقم فنحصل على الرقم 225

نطرح  522 – 225 = 297

نعكس نتيجة الطرح أي الرقم 297 فنحصل على الرقم 792

نجمع 297+792 = 1089 وهو رقمنا السحري

إذا كنت تعتقد بأن هنالك خدعة ما في هذا الأمر فيمكنك اختيار أي رقم ثلاثي شريطة ألا يكون منتهياُ بالعدد صفر و ألا يكون أحاده مماثلاً لمئاته أي ألا يكون الرقمين الأول و الثالث فيه متماثلين كالرقم 252 أو الرقم 454 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لاحظ أننا إذا ضربنا الرقم السحري  1089 بالعدد 9 فإننا نحصل على الرقم 9801

1089×9 = 9801

لاحظ أن الرقم 9801 هو عكس الرقم 1089

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

109989×9 = 989901

لاحظ أن الرقم 989901 هو عكس الرقم 109989

1099989×9 = 9899901 وهو عكس الرقم 1099989

10999989×9 = 98999901 وهو عكس الرقم 10999989

109999989×9 =989999901 وهو عكس الرقم 109999989

1099999989×9 =9899999901 وهو عكس الرقم 1099999989

10999999989×9 =98999999901 وهو عكس الرقم 10999999989

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لاحظ كيف تكون النتائج عكس بعض الأرقام عندما نضربها بالعدد 4 :

21978×4 = 87912

219978 × 4 = 879912

2199978 × 4 = 8799912

21999978 × 4 = 87999912

219999978 × 4 = 879999912

2199999978 × 4 = 8799999912

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

n = 30

سلسلة الرفع للقوة 2 التي تبدأ بالرقم 30 :

30 ← عبارة عن 3 +0 ← 32 +  02= 9 لأن 3×3 = 9

92 = ( 9×9 ) = 81 و هذا الرقم عبارة عن 1 + 8 نرفعهما للقوة 2

12+82 =65  ← عبارة عن 52 + 62 ( 5×5 +6×6 ) = 61

61 ← عبارة عن 12 + 62 ( 1×1 +6 ×6 ) = 1+36 =  37 ← عبارة عن 72 ×32 ( 7×7 +3 ×3 )= 58 ← عبارة عن 82 +52 = 89 ← عبارة عن 92 +82 = 145 ← عبارة عن

12+ 42+52 = 42 ← عبارة عن 42 + 22 = 20 وهذا الرقم عبارة عن 02 + 22 ( 0×0 + 4×4 ) =  16 و هو عبارة عن 12+62 = 37 وهو عبارة عن 32 + 72 = 58 وهو عبارة عن 82 + 52 = 89

لاحظ أننا وصلنا إلى الرقم 89 مرتين علماً أنه في كل مرة نصل فيها إلى هذا الرقم فهذا يعني أننا أكملنا حلقة من هذه العمليات .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

n = 31

أي أننا سنبدأ من الرقم 31

الرقم 31 عبارة عن 12+ 32 ( 1×1 = 3 ×3 ) = 10 و الرقم عشرة عبارة عن 02+ 12

(0 ×0 + 1 ×1 ) = 1 نرفعه مجدداً للقوة 2 فيصبح 1 2 أي 1 ×1 = 1 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

n = 32

أي أننا سنبدأ من الرقم 32

و الرقم 32 عبارة عن  22+32 ( 2×2 + 3 ×3 ) = 13 و الرقم 13 عبارة عن 12+ 32 أي ( 1 ×1 + 3 ×3 ) = 10 و الرقم 10 عبارة عن 02+12 ( أي 0 ×0 + 1 ×1 ) = 1

نرفعه للقوة 2 فيصبح 1 2 أي 1 ×1 = 1

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

n = 33

أي أننا سنبدأ من الرقم 33

و الرقم 33 عبارة عن 32+32 ( 3×3 + 3 ×3 ) = 18 و الرقم 18 عبارة عن 12+ 82 ( أي 1×1 + 8 ×8 ) = 65 و الرقم 65 عبارة عن 62+ 52 ( أي 6 ×6 + 5 ×5 ) = 61

و الرقم 61 عبارة عن 12+62 ( أي 1×1 + 6×6 ) = 37 و الرقم 37 عبارة عن 33+72

أي 3×3 + 7 ×7 = 58 و الرقم 58 عبارة عن 52+82 أي 5×5+ 8 ×8 = 89

لاحظ أننا أتممنا الدورة الأولى لأننا وصلنا للرقم 89 .

نتابع : و الرقم 89 عبارة عن 82 + 92 أي 8×8 + 9 ×9 = 145 و الرقم 145 عبارة عن 12+ 42+ 52 ( أي 1×1 + 4 ×4 + 5 ×5 ) = 42 و الرقم 42 عبارة عن 22+42 أي 2 ×2 + 4 ×4 = 20 و الرقم 20 عبارة عن 22 + 02أي 2×2+ 0×0= 4

نرفع الرقم 4 للقوة 2 فيصبح  42 أي 4×4 = 16 و الرقم 16 عبارة عن 12 +62 أي 1 ×1 + 6  ×6 = 37 و الرقم 37 عبارة عن 72 + 33 أي 7 ×7 + 3 ×3 = 58

و الرقم 58 عبارة عن 82 + 52 أي 8×8 + 5 ×5 = 89

و بوصولنا إلى الرقم 89 مجدداً نكون قد أتممنا دورة أخرى .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

n = 80

أي أننا سنبدأ من الرقم 80

الرقم 80 عبارة عن 82 + 02 أي ( 8 ×8 + 0 ×0 ) = 64 و الرقم 64 عبارة عن 6 2 + 42 أي 6 ×6 + 4 ×4 = 52 و الرقم 52 عبارة عن 22 + 52 أي 2 ×2 + 5 ×5 = 29 و الرقم 29 عبارة عن 92 + 22 أي ( 9 ×9 + 2 ×2 ) = 85 و الرقم 85 عبارة عن 82 +52 أي ( 8 ×8 + 5 ×5 ) = 89

و بوصولنا إلى الرقم 89 مجدداً نكون قد أتممنا دورة أخرى .

و الرقم 89 عبارة عن 92×82 أي ( 9×9 + 8 ×8 ) = 145 و الرقم 145 عبارة عن 12+42+52 أي ( 1 ×1 + 4 ×4 + 5 ×5 ) = 42 و الرقم 42 عبارة عن 22+ 42 أي ( 2 ×2 + 4 ×4 ) = 20 و الرقم 20 عبارة عن 02 +22 أي 0 ×0 +  2 ×2 = 4

نرفع الرقم 4 للقوة 2 فيصبح 42 أي 4 ×4 = 16 و الرقم 16 عبارة عن 12 + 62 أي 1×1+ 6 ×6 = 37 و الرقم 37 عبارة عن 32 + 72 أي 3 ×3 + 7 ×7 = 58 و الرقم 58 عبارة عن 82 + 52 أي 8 ×8 + 5 ×5= 89

و بوصولنا إلى الرقم 89 مجدداً نكون قد أتممنا دورة جديدة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

n = 81

أي أننا سنبدأ من الرقم 81

و الرقم 81 عبارة عن 82+ 12أي ( 8×8 + 1 ×1 )= 65 و الرقم 65 عبارة عن 52+ 62

أي 5×5 + 6 ×6 = 61 و الرقم 61 عبارة عن 12× 62 أي 1×1 + 6 ×6 =  37 و الرقم 37 عبارة عن 72+ 32 أي 7×7 + 3×3 = 58 و الرقم 58 عبارة عن 82 + 52 أي 8 ×8 + 5 ×5 = 89 و الرقم 89 عبارة عن 82 + 92 أي 8×8 + 9 ×9 = 145 و الرقم 145 عبارة عن 52 + 42+ 12أي   5 ×5 + 4 ×4 + 1 ×1 = 42 و الرقم 42 عبارة عن 22+42

أي 2×2+ 4×4= 20 و الرقم 20 عبارة عن 02 + 22= 0 ×0 + 2 ×2 = 4

نرفع الرقم 4 للقوة 2 فيصبح 42 أي 4×4= 16 و الرقم 16 عبارة عن 12+ 62 أي 1 ×1 + 6 ×6 = 37 و الرقم 37 عبارة عن 72 + 32 أي 7 ×7 + 3 ×3 = 58 و الرقم 58 عبارة عن 82 +52 أي 8 ×8 + 5 ×5 = 89

و بوصولنا إلى الرقم 89 مجدداً نكون قد أتممنا دورة جديدة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

n = 82

أي أننا سنبدأ من الرقم 82

الرقم 82 عبارة عن 22 +82 ( أي 2 ×2 + 8 ×8 ) = 68 و الرقم 68 عبارة عن 82 + 62

أي ( 8 ×8 +6 ×6 ) = 100 و الرقم 100 عبارة عن 12+02+02 ( أي 1 ×1 + 0 ×0 + 0 ×0 ) = 1 نرفعه للقوة 2 فيصبح 1 2 أي 1 ×1 = 1

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

n = 85

أي أننا سنبدأ من الرقم 85

الرقم 85 عبارة عن 82 + 52 أي ( 8× 8 + 5 ×5 ) = 89 و الرقم 89  عبارة عن 92+82

أي 9 ×9 + 8 ×8 = 145 و الرقم 145 عبارة عن 52+42+12( أي 5×5 + 4×4 +1×1 =42 و الرقم 42 عبارة عن 42+22 أي 4 ×4 + 2 ×2 = 20 و الرقم 20 عبارة عن 02 +22 أي 0 ×0 + 2 ×2 = 4 نرفعه للقوة 2 فيصبح 42 أي 4 ×4 = 16 و الرقم 16 عبارة عن 12 + 62 أي 1 ×1 + 6 ×6 = 37 و الرقم 37 عبارة عن 32 + 72 أي 3 ×3 + 7 ×7 = 58 و الرقم 58 عبارة عن 82 +52 أي 8×8 + 5×5 = 89

و بوصولنا إلى الرقم 89 مجدداً نكون قد أتممنا دورة.

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرقم 89 هو جزء من الرقم السحري  1089

ظاهرة العدد 1

هذه الظاهرة حيرت علماء الرياضيات ومامن أحد يمتلك تفسيراً لهذه الظاهرة فعندما نقوم باختيار أي رقم ومن ثم نقوم بقسمة العدد الزوجي number even على 2 وضرب العدد الفردي odd number  بالعدد 3 ومن ثم إضافة واحد فإننا نحصل في النهاية على العدد 1 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرقم  12 مثلاً هو رقم زوجي لذلك فإننا نقسمه على 2

12 ÷ 2 = 6 و العدد 6 هو كذلك عدد زوجي لذلك نقسمه على 2 فنحصل على العدد 3 وهو عدد فردي لذلك فإننا نضربه بالعدد 3 و نضيف إلى الناتج العدد 1

3 ×3 +1 = 10 و العدد 10 زوجي لذلك نقسمه على 2 فنحصل على العدد 5 وهو عدد فردي لذلك نضربه بالعدد 3 و نضيف العدد 1 إلى النتيجة 5 ×3 +1 = 16 و الرقم 16 هو رقم زوجي لذلك فإننا نقسمه على 2 :

16 ÷ 2 = 8 و العدد 8 هو عدد زوجي لذك فإننا نقسمه على 2 فتكون النتيجة 4 وهو عدد زوجي لذلك فإننا نقسمه على 2 فتكون النتيجة 2 وبما أنها عدد زوجي فإننا نقسمها على 2 فتكون النتيجة 1 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

إن جميع الأرقام التي جربت منذ العام 1930 و لغاية هذا اليوم قد بينت صحة هذه النظرية و بالرغم من استخدام الحواسب العملاقة فإن علماء الرياضيات لم يتمكنوا من الوصول إلى قول فصل و قد أعلنت الكثير من الهيئات العلمية عن جوائز كبيرة لمن يثبت صحة هذه النظرية بشكل مطلق أو لمن يأتي برقم لا تنطبق عليه هذه النظرية و تعرف هذه المعضلة الرياضية عالمياً باسم معضلة   3n+1 problem  .

علماً أن جميع المحاولات كانت تنتهي بالأعداد  4–2–1.

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الأعداد الكاملة  Perfect Numbers :

يروج البعض لفكرة أن كل ما في الرياضيات كامل و تام و مطلق و مثبت و هذا الكلام دليل جهل فالكثير من المسلمات الرياضية غير مثبتة بل إن  من الممكن أن تكون خاطئة كما أن العناصر المكونة للرياضيات أي الأرقام ليست متساوية من حيث الكمال فهنالك أرقام أكثر كمالاً من الأرقام الأخرى لا بل إن هنالك أرقام غير تامة أو غير كاملة و هنالك أرقام تامة

perfect numbers و الرقم التام هو الرقم المساوي لمجموع عوامله المكونة و أصغر الأرقام التامة هو الرقم ستة 6 لأن 1 +2+3 = 6 .

و نحن نقصد بالعوامل المكونة للرقم بانها الأعداد التي إذا ضاعفناها  عدة مرات و صلنا إلى ذلك العدد

1 ×6 = 6

2 ×3 = 6

3 ×2 = 6

و كذلك فإن 1 +2+3 = 6

جييع مكونات هذا الرقم إذا ضربت ببعضها عدداً معيناً من المرات أنتجت ذلك الرقم .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرقم الثاني التام هو الرقم 28 لأن  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

طبعاً 1 ×28 = 28

2 ×14 = 28

7 ×4 = 28

جييع مكونات هذا الرقم إذا ضربت ببعضها عدداً معيناً من المرات أنتجت ذلك الرقم .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

و الرقم التام الثالث هو الرقم 496 لأن 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

طبعاً 1 ×496 = 496

2 ×248 = 496

4 ×124 = 496

8 × 62 = 496

16 ×31 = 496

جييع مكونات هذا الرقم إذا ضربت ببعضها عدداً معيناً من المرات أنتجت ذلك الرقم .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

و الرقم التام الرابع هو الرقم 8128 و هو آخر رقم تام توصل إليه اليونانيين القدماء و في الحقيقة فإن اليوناني إقليدس Euclid هو من وضع نظرية في كيفية التوصل إلى الأرقام التامة .و الرقم التام الخامس هو الرقم 33550336 و الرقم التام السادس هو الرقم 8589869056

و الرقم التام السابع هو الرقم 137438691328

لاحظ أن جميع الأرقام التامة تنتهي بالعدد 6 أو بالرقم 28

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الأعداد المتحابة amicable

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

يقال عن رقمين أنهما رقمين متحابين إذا كان مجموع قواسم أحدهما يساوي الآخر .

مثال الرقمين 220 و  284 فالأعداد التي يمكن قسمة الرقم 220 عليها هي :

2-1- 4- 5- 10- 11- 20- 22- 44- 55

220 ÷55 = 4

220 ÷ 44 = 5

220 ÷22 = 10

220 ÷11 = 20

220 ÷ 10 = 22

220 ÷5 = 44

220 ÷4 = 55

220 ÷2 = 110

220 ÷1 = 220

و الآن 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

الآن نأتي للرقم الثاني وهو الرقم 284 و قواسم هذا الرقم هي  1 – 2 -4 – 71 – 142

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

و في القرن السابع عشر إكتشف عالم الرياضيات بيير دي فيرمات  Pierre  de

Fermat رقمين متحابين جديدين و هما الرقم 17296و الرقم 18416

الآن إذا جمعنا قواسم الرقم الأول 17296فإننا نحصل على الرقم الثاني 18416

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 23 + 46 + 47 + 92 + 94 + 184 + 188 + 368

+ 376 + 752 + 1081 + 2162 + 4324 + 8648 = 18416

و إذا جمعنا قواسم الرقم الثاني 18416فإننا نحصل على الرقم الأول .

1+2+4+8+16+1151+2302+4604+920 = 17296

مجموعة أخرى من الأرقام المتحابة :

1184  والرقم      1210

2620  والرقم  2924

5020    والرقم   5564

6232   والرقم    6368

10744   والرقم  10856

9363584   والرقم    9437056

111448537712   والرقم    118853793424

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

تتابع فيبوناتشي Fibonacci sequence

سلسلة فيبوناتشي  Fibonacci series

سلسلة فيبوناتشي عبارة عن سلسلة من الأرقام يدعى كل رقم فيها برقم فيبوناتشي Fibonacci number و يكون كل رقم في هذه السلسلة مساوياً لمجموع الرقمين الذين يسبقانه  مثلاً :

1-1– 2 – 3 – 5 – 8 … فالرقم 2 = 1+1 و الرقم 3= 1+2 و الرقم 5= 2+3 و الرقم 8=5+3 و هكذا و مكتشف هذه السلسلة هو الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي Leonardo Fibonacci (c.1170–c.1250) و كلمة فيبوناتشي تعني ( ابن بوناتشي )  Bonacciو قد ذكر فيبوناتشي اكتشافه هذا في كتابه الذي أسماه Liber Abaci الذي وضعه في العام 1202 و الذي يعتبر من أهم الكتب في تاريخ أوروبا .

وقد استخدم فيبوناتشي الأرقام العربية – الهندية Hindu–Arabic numerals لأول مرة في أوروبا وهي الأرقام التي اعتمدت بشكل رسمي بعد ذلك .

لقد كان فيبوناتشي تاجراً ولم يكن رجل دين أو عالم رياضيات و قد أمضى سنوات طويلة في العالم الإسلامي كما أنه قرأ عدداً كبيراً من الكتب العربية و إليه يرجع الفضل في إدخال الأرقام العربية إلى أوروبا و ذلك في كتابه Liber abaci الذي تقدم ذكره وفي العام 1857 طبع هذا الكتاب تحت عنوان Scritti di Leonardo Pisano .

إن سر اعتبار كتاب فيبوناتشي كأحد أهم الكتب في تاريخ أوروبا يعود إلى مقدمة الكتاب التي قال فيها ” هذه هي الأرقام الهندية التسعة 123456789 و التي باستخدامها و باستخدام الرمز 0  الذي يدعوه العرب الصفر zephirum يمكن كتابة أي رقم ” و بذلك فقد عرفت أوروبا لأول مرة في تاريخها النظام العشري decimal و استخدام الصفر as-sifr أو zephirum

الذي اشتقت منه كلمة  Zero   و كلمة صفر العربية أتت من الكلمة السنسكريتية sunya و تعني الفراغ أو الخواء .

1- 2- 3- 5- 8- 13- 21- 34- 55- 89- 144- 233- 377

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الدورة اللانهائية للأرقام الرباعية :

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

إختر رقماً رباعياً ( يتألف من أربعة أعداد ) شريطة ألا تكون الأعداد المكونة له متماثلة كما هي حال الرقم 5555 أو الرقم 9999 .

أعد ترتيب الأعداد المكونة لهذا الرقم بحيث تحصل على أعلى رقم ممكن .

أعد ترتيب الأعداد المكونة لهذا الرقم بحيث تحصل على أصغر رقم ممكن .

إطرح هذين الرقمين من بعضهما البعض .

كرر هذه العملية إلى أن تصل إلى الرقم 6147 و بعد ذلك فإنك ستصل إلى دورة لا نهائية من العمليات الحسابية .

التطبيق العملي :

إختر رقماً رباعياً ( يتألف من أربعة أعداد ) شريطة ألا تكون الأعداد المكونة له متماثلة كما هي حال الرقم 5555 أو الرقم 9999 .

نختار مثلاً الرقم  3203

أعد ترتيب الأعداد المكونة لهذا الرقم بحيث تحصل على أعلى رقم ممكن .

الرقم 3320 هو أكبر رقم يمكن تشكيله من هذه الأعداد .

أعد ترتيب الأعداد المكونة لهذا الرقم بحيث تحصل على أصغر رقم ممكن .

أصغر رقم يمكن تشكيله من هذه الأعداد هو الرقم 0233

إطرح هذين الرقمين من بعضهما البعض .

3320-0233=  3087

لدين الآن ناتج عملية الطرح وهو الرقم 3087

الرقم الأعلى الذي يمكن تشكيله من أعداد هذا الرقم هو الرقم 8730

الرقم الأدنى الذي يمكن تشكيله من أعداد هذا الرقم هو  0378

8730 -0378 =  8352

لدينا  الآن ناتج عملية الطرح وهو الرقم 8352

الرقم الأعلى الذي يمكن تشكيله من أعداد هذا الرقم هو 8532

الرقم الأدنى الذي يمكن تشكيله من أعداد هذا الرقم هو  2358

8532 – 2358 = 6174   هنا وصلنا للرقم 6174 الذي يشكل بداية الدورة المغلقة اللانهائية .

لدينا  الآن ناتج عملية الطرح وهو الرقم 6174

الرقم الأعلى الذي يمكن تشكيله من أعداد هذا الرقم هو 7641

الرقم الأدنى الذي يمكن تشكيله من أعداد هذا الرقم هو  1467

7641 – 1467 = 6174 هنا وصلنا مجدداً  للرقم 6174 الذي يشكل بداية الدورة المغلقة اللانهائية.

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الأرقام الخمسة السحرية :

1 – 153 – 370 – 371- 407

تتميز هذه الأرقام السحرية بأن مجموع مكعب الأعداد المكونة لها مساوٍ لها بمعنى ان مكعب العدد 1 أي 13 = 1 و مجموع مكعب الأعداد 3 و 5 و 1 يساوي 153

13+53+33 =  1×1×1 + 5 ×5× 5 +3  ×3 ×3   =   1 + 125 + 27 = 153

كما أن مجموع مكعب الأعداد  3 و 7 و 0 يساوي 370

33+73+03= 3×3×3 + 7×7×7 + 0 = 27 + 343 = 370

و كذلك فإن مجموع مكعب الأعداد 3 و 7 و 1 يساوي 371

33 + 73 + 13= 3 ×3×3 + 7×7×7 +1×1×1= 371

كما أن مجموع مكعب الأعداد 4 و 0 و 7 يساوي 407

43+ 03+73 = 4×4×4+0×0×0+7×7×7 = 704

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

انتبه جيداً إلى العلاقة السحرية بين هذه الأرقام :

6205  =   692 +382 (69× 69 + 38 ×38  )

و في الوقت ذاته فإن الرقم  3869 الذي يتكون من الرقمين 69 و 38  = 052 +622 ( 05 × 05 + 62 ×62 ) = 3869

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الرقم  5965 = 772 +062 ( 77 ×77 + 06 ×06 )

وفي الوقت ذاته فإن الرقم   7706 الذي يتكون من الرقمين 77 و 06 = 592 + 652 ( 59 ×59 + 65 ×65 )= 7706

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الأرقام المتشقلبة Palindromic Numbers

هنالك بعض الكلمات و العبارات التي يمكن أن نقرأها بشكل معكوس دون أن يتغير معناها كما هي الحال في كلمة رادار Radar و كلمة   Reviver ( العائد للوعي ) , و كلمة الدوار Rotator و عبارة لايوجد ليمون و لا يوجد بطيخ NO Lemons, NO Melon

و غيرها , و هنالك أرقام متشقلبة يمكن أن نقرأها بشكل معكوس كالرقم 303 و الرقم 555 و غيرها و يمكن الحصول على هذه الأرقام إنطلاقاً من أي رقم و ذلك بأن نعكس هذا الرقم ثم نجمع هذا الرقم مع معكوسه و إذا لم نتوصل إلى رقم متشقلب يمكننا أن نكرر الخطوة مرة ثانية كما في هذا المثال:

لدينا الرقم 23 نريد أن نصنع من خلاله رقماً متشقلباً لذلك فإننا نعكسه فيصبح 32 ثم نجمع العدد 23 مع معكوسه 23 + 32 = 55 و هو رقم متشقلب .

لدينا الرقم 57 و نريد أن نصنع منه رقماً متشقلباً لذلك فإننا نعكسه فيصبح 75 ثم نجمعه مع معكوسه 57 + 75 = 123  لكن هذا الرقم ليس رقماً متشقلباً لأننا لو عكسناه لأصبح 321

لذلك فإننا ننفذ الخطوات السابقة من جديد ونعكس الرقم 123 فيصبح لدينا الرقم 321

ثم نجمع هذين الرقمين  132 +123 = 363 وهو كما نرى رقم متشقلب .

و أحياناً نحتاج إلى 3 عمليات عكس و 3 عمليات جمع حتى نحصل على رقم متشقلب :

86 + 68=154   154 + 451=605   605 + 506=1111

وقد نحتاج إلى عدد أكبر من الخطوات في أرقام اخرى .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الدائرة المغلقة

لنختر رقماً ما بطريقة عشوائية و ليكن الرقم  352

لنحسب مكعب الأعداد التي تشكل هذا الرقم

23+53+33 = ( 2×2 ×2+ 5×5 ×5 +3 ×3 × 3) =  8 + 125 + 7 = 160

لنكرر هذه العملية و نحسب مكعب الأعداد المكونة للرقم 160

13+63+03 = ( 1×1×1+6×6×6+0×0×0) = 1 +216 + 0 = 217

لنكرر هذه العملية و نحسب مكعب الأعداد المكونة للرقم 217

23+13+73 = ( 2×2×2+ 1×1×1+7×7×7) = 8 + 1 + 343= 352

لقد وصلنا إلى الرقم ذاته الذي اخترناه و بدأنا منه وهو الرقم 352

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لنجرب رقماً آخر و ليكن الرقم 123و الآن لنحسب مربع الأعداد التي تشكل هذا الرقم و ليس مكعبها :

12+22+32 =( 1×1+ 2×2+ 3×3) = 1 +4 + 9 = 14

لنكرر هذه العملية و نحسب مربع الأعداد المكونة للرقم 14

12+42=  ( 3×3 +4×4) = 1 + 16 = 17

لنكرر هذه العملية و نحسب مربع الأعداد المكونة للرقم 17

12 + 72= ( 1×1+ 7×7) = 1 + 49 = 50

لنكرر هذه العملية و نحسب مربع الأعداد المكونة للرقم 50

02+ 52 = ( 0×0 + 5×5) = 0 + 25 = 25

لنكرر هذه العملية و نحسب مربع الأعداد المكونة للرقم 25

52 + 22 = 5 ×5 + 2×2 = 25 + 4 = 29

لنكرر هذه العملية و نحسب مربع الأعداد المكونة للرقم 29

22 +92 = 2 ×2 + 9 ×9 = 4 + 81 = 85

لنكرر هذه العملية و نحسب مربع الأعداد المكونة للرقم 85

52 + 82 = 5 ×5 + 8 ×8 = 25 + 64 = 89

لنكرر هذه العملية و نحسب  مجموع مربع الأعداد المكونة للرقم 89

92 + 82 = 9×9 + 8 ×8 =  81+ 64 = 145

لنكرر هذه العملية و نحسب مجموع  مربع الأعداد المكونة للرقم 145

52 + 42+ 11= 5 ×5 + 4 ×4 + 1 ×1 = 25 + 16 + 1 = 42

لنكرر هذه العملية و نحسب  مجموع مربع الأعداد المكونة للرقم 42

22 + 42 = 2 ×2 + 2 ×2 = 4 + 16 = 20

لنكرر هذه العملية و نحسب  مجموع مربع الأعداد المكونة للرقم 20

02 + 22 = 0 ×0 + 2×2 = 4

لنكرر هذه العملية و نحسب  مجموع مربع الأعداد المكونة للعدد 4

42= 4 ×4 = 16

لنكرر هذه العملية و نحسب مجموع  مربع الأعداد المكونة للرقم 16

62 + 12= 6 ×6+ 1 ×1= 37

لنكرر هذه العملية و نحسب  مجموع مربع الأعداد المكونة للرقم 37

72 +32 = 7 ×7 + 3 ×3 = 49 + 9 = 58

لنكرر هذه العملية و نحسب مجموع  مربع الأعداد المكونة للرقم 58

82 + 52 = 8 ×8 + 5 ×5 = 64 + 35 = 89 لاحظ أن الرقم 89 قد مر معنا سابقاً و هذا يعني أننا ندور في حلقة مغلقة تتكرر إلى مالا نهاية .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

حلقة الجداء المتسلسل A Factorial Loop  !

نرمز للجداء المتسلسل بإشارة التعجب ! و الجداء المتسلسل هو حاصل ضرب جميع الأرقام المتسلسلة مع بعضها البعض فعلى سبيل المثال فإن الجداء المتسلسل للعدد 4 أي 4!

يساوي 1 ×2 ×3 ×4 = 24

الآن ماهو الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 145

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

1 ×1 = 1 الجداء المتسلسل للعدد 1

1 ×2 ×3 ×4 = 24  وهو الجداء المتسلسل للعدد 4

1 ×2 ×3 ×4×5 = 120  و هو الجداء المتسلسل للعدد 5

الآن نجمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 145

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

هل كل شيئ واضح ؟

الآن ماهو الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 40585

4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 24 + 1 + 120 + 40320 + 120 = 40585

1 ×2 ×3 ×4 = 24 هو الجداء المتسلسل للعدد 4

الجداء المتسلسل للصفر هو 1

1 ×2 ×3 ×4×5 = 120 هو الجداء المتسلسل للعدد 5

1 ×2 ×3 ×4×5×6×7×8 = 40320 هو الجداء المتسلسل للعدد 8

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الآن سنعود للعب بالأرقام من جديد و ذلك بسؤال صغير عن الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 871

1 ×2 ×3 ×4×5×6×7×8 = 40320 هو الجداء المتسلسل للعدد 8

1 ×2 ×3 ×4×5×6×7= 5040   هو الجداء المتسلسل للعدد 7

8! + 7! + 1! = 40320  + 5040 + 1 = 45361

هنا حدثت مشكلة لابد أنكم انتبهتم إليها و تتخلص هذه المشكلة في أن حاصل جمع الجداء المتسلسل للرقم 871 لم يكن الرقم 871 بل كان رقماً مختلفاً وهو الرقم 45361

الآن المفاجئة المدهشة :

ماهو حاصل جمع  الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 45361

1 ×2 ×3 ×4= 24 الجداء المتسلسل للعدد 4

1 ×2 ×3 ×4×5= 120 الجداء المتسلسل للعدد 5

1 ×2 ×3= 6 الجداء المتسلسل للعدد 3

1 ×2 ×3 ×4×5×6= 720 الجداء المتسلسل للعدد 6

4! + 5! + 3! + 6! + 1! = 24 + 120 + 6 + 720 + 1 = 871

حاصل جمع  الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 45361 هو الرقم 871

أليس هذا مدهشاً ؟

إن وصولنا للرقم 871 يعني أننا وصلنا إلى حلقة مغلقة لأننا إذا بحثنا عن حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 871 فإن النتيجة ستكون 45361 و لو بحثنا عن حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 45361 فإن النتيجة تكون 871 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الآن ماهو حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 872

1 ×2 ×3 ×4×5×6×7×8 = 40320 هو الجداء المتسلسل للعدد 8

1 ×2 ×3 ×4×5×6×7= 5040   هو الجداء المتسلسل للعدد 7

2 ×1 = 2 الجداء المتسلسل للعدد 2

8! + 7! + 2! = 40320 + 5040 + 2 = 45362

إذاً حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 872 هو 45362

الآن ماهو حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 45362

4! + 5! + 3! + 6! + 2! = 24 + 120 + 6 + 720 + 2 = 872

إذاً حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 45362   هو  872

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

ماهو حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 169

1 ×2 ×3 ×4×5×6×7×8×9 = 362880 هو الجداء المتسلسل للعدد 9

1 ×2 ×3 ×4×5×6= 720  وهو الجداء المتسلسل للعدد 6

1! + 6! + 9! = 363601

362880 + 720 + 1 = 363601 هو حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 169

الآن ماهو حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 363601

3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 1!

= 6 + 720 + 6 + 720 + 1 + 1 = 1454

إذاً حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 169  هو  1454

الآن ماهو حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 1454

1 ×2 ×3 ×4= 24 الجداء المتسلسل للعدد 4

1 ×2 ×3 ×4×5= 120 الجداء المتسلسل للعدد 5

1! + 4! + 5! + 4!

= 1 + 24 + 120 + 24 = 169

إذاً حاصل جمع الجداء المتسلسل للأعداد المكونة للرقم 1454  هو  169

و هكذا فإننا قد دخلنا في حلقة مغلقة جديدة .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

مجموع الأعداد المتتابعة :

هناك أرقام هي عبارة عن مجموع عدد من الأعداد المتتابعة كما في هذه الأمثلة :

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

الأعداد : 1-2-3-4-5-6 هي أعداد متتابعة و بذات الوقت فإن مجموعها يساوي 21

3 = 1 + 2

22 = 4 + 5 + 6 + 7

الأعداد : 4-5-6 – 7 هي أعداد متتابعة و بذات الوقت فإن مجموعها يساوي 22

23 = 11 + 12

5 = 2 + 3

24 = 7 + 8 + 9

6 = 1 + 2 + 3

25 = 12 + 13

7 = 3 + 4

26 = 5 + 6 + 7 + 8

27 =  8 + 9 + 10

9 = 4 + 5

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

10 = 1 + 2 + 3 + 4

29 = 14 + 15

11 = 5 + 6

30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8

12 = 3 + 4 + 5

31 = 15 + 16

13 = 6 + 7

14 = 2 + 3 + 4 + 5

33 = 10 + 11 + 12

15 = 4 + 5 + 6

34 = 7 + 8 + 9 + 10

35 = 17 + 18

17 = 8 + 9

36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

18 = 5 + 6 + 7

37 = 18 + 19

19 = 9 + 10

38 = 8 + 9 + 10 + 11

20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6

39 = 19 + 20

40 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10

و هنالك أرقام لا يمكن تمثيلها بهذا الشكل , أي لايوجد عددين متتابعين مجموعهما يساوي تلك الأرقام كالعدد 2 و الأعداد 4 و 8 و 16 و 32

حاول أن تعثر على عددين متتابعين مجموعهما يساوي أحد الأعداد التالية :

2 – 4 -8 – 16 – 32

لاتقل بأنه يمكن حل هذه المشكلة بالقول بأن 2+2 = 4 لأن 2 و 2 ليسا عددين متتابعين أو بالقول بأن 4+4 = 8 لأن 4 و 4 ليسا عددين متتابعين أو بقولك أن 1+1 = 2 لأن 1 و 1 ليسا عددين متتابعين .

لاحظ أن 9 + 10 + 11=30 و أن 6 + 7 + 8 + 9= 30 كذلك .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الضرب بالرقم 11

مر معنا سابقاً ( في الجزء الأول من الرياضيات السحرية ) أننا إذا أردنا أن نضرب أي عدد بالرقم 11 فإننا نكرر هذا العدد في النتيجة :

مثال :  7 ×11 = 77    لاحظ كيف كررنا العدد 7

4 ×11 = 44

9 ×11 = 99

و مر معنا كذلك أنه عند ضرب رقم ثنائي ( رقم يتألف من عددين كالرقم 76 مثلاً ) بالرقم 11 فإننا نجمع العددين الذين يشكلان هذا الرقم و نضع النتيجة بينهما كما في هذه الأمثلة :

45 ×11 =

5 +4 = 9 نضع العدد 9 بين العددين 4 و 5 فتصبح النتيجة

45 ×11 = 495

33 ×11 =

3 +3 = 6

33 ×11 = 363

و الآن ماذا لو كانت نتيجة الجمع أكبر من 9 ؟

إذا كانت نتيجة الجمع أكبر من العدد 9 أي أنها كانت تتألف من عددين فإننا نقوم بالآتي :

–         نضع الآحاد بين العددين

–         نضيف العشرات إلى رقم المئات في النتيجة

مثال :    78 ×11 =

8+7 =15 و الرقم 15 أكبر من العدد 9 كما أنه مؤلف من عددين و هما العدد 5 و هو عدد آحاد و الرقم عشرة أو 1 وهو من العشرات .

نضع العدد 5 بين العددين 7 و 8 فتصبح النتيجة  758

الآن نضيف رقم العشرات 1 إلى المئات 7 ( 1 +7 =8 ) فتصبح النتيجة النهائية

78 ×11 = 858

مثال آخر :   99 ×11 =

9+9= 18

نضع العدد 8 بين العددين 9 و 9 فتصبح النتيجة  989

الآن نضيف رقم العشرات 1 إلى المئات 9 ( 1 +9 =10 ) فتصبح النتيجة النهائية

99 ×11 = 1089

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

ضرب الأرقام الكبيرة بالرقم 11 :

كيف نضرب رقماً كبيراً كالرقم 12345 بالرقم 11 ؟

نبدأ من اليمين فننزل الرقم الأول كما هو ثم نبدأ بجمع كل عددين من اليمين مع بعضهما البعض و نضع النتائج تباعاً من اليمين إلى اليسار ثم ننزل العدد الأخير كما هو دون تغيير .

مثال تطبيقي :

11 × 12345 =

نبدأ من اليمين و نضع العدد الأول كما هو في النتيجة وهو هنا العدد 5

إذاً العد د 5 هو أول عدد في النتيجة .

نبدأ بجمع كل عددين مع بعضهما البعض  بدءاً من جهة اليمين .

5+4 = 9 إذاً العد د 9 هو ثاني  عدد في النتيجة .

4+3 = 7 إذاً العد د 7 هو ثالث  عدد في النتيجة .

3+2 = 5 إذاً العد د 5 هو رابع  عدد في النتيجة .

2+1 = 3 إذاً العد د 3 هو خامس  عدد في النتيجة .

نضع آخر عدد كما هو وهو هنا العدد 1

إذاً العد د 1 هو آخر  عدد في النتيجة .

و هكذا تصبح النتيجة النهائية كالتالي : 11 × 12345 = 135795

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

ماذا نفعل عند الجمع إذا كانت نتيجة أحد العددين أكبر من 9 ؟

سأشرح هذه العملية بالتفصيل:

مثال : 11 ×456789=

نبدأ من اليمين و نضع العدد الأول كما هو في النتيجة وهو هنا العدد 9

إذاً العد د 9 هو أول عدد في النتيجة .

نبدأ بجمع كل عددين مع بعضهما البعض  بدءاً من جهة اليمين .

9+8 = 17 لاحظ هنا أن نتيجة الجمع أكبر من العدد 9 لذلك نعتبر أن العدد الأول أو الآحاد وهو هنا العدد 7 هو العدد الثاني في النتيجة و يبقى لدينا الرقم 1 و هو رقم عشرات .

إذاً العد د 7 هو ثاني  عدد في النتيجة .

تذكر أنه بقي معنا العدد 1 و هو عدد عشرات .

8+7 = 15 و نضيف إليها العدد 1 الذي حملناه من عملية الجمع السابقة فيصبح لدينا

8+7+1 = 16 أو 15 +1 = 16 لاحظ هنا أن نتيجة الجمع أكبر من العدد 9 لذلك نعتبر أن العدد الأول أو الآحاد وهو هنا العدد 6 هو العدد الثالث في النتيجة و يبقى لدينا الرقم 1 و هو رقم عشرات .

إذاً العد د 6 هو ثاني  عدد في النتيجة .

تذكر أنه بقي معنا العدد 1 و هو عدد عشرات .

7+6 = 13 و نضيف إليها العدد 1 الذي حملناه من عملية الجمع السابقة فيصبح لدينا

7+6+1 = 14

لاحظ هنا أن نتيجة الجمع أكبر من العدد 9 لذلك نعتبر أن العدد الأول أو الآحاد وهو هنا العدد 4 هو العدد الرابع في النتيجة و يبقى لدينا الرقم 1 و هو رقم عشرات .

إذاً العد د 4 هو ثالث  عدد في النتيجة .

6+5 = 11

تذكر أنه بقي معنا العدد 1 و هو عدد عشرات .

6+5 = 11 و نضيف إليها العدد 1 الذي حملناه من عملية الجمع السابقة فيصبح لدينا

6+5+1 = 12 أو 11 +1 = 12 لاحظ هنا أن نتيجة الجمع أكبر من العدد 9 لذلك نعتبر أن العدد الأول أو الآحاد وهو هنا العدد 2 هو العدد الخامس في النتيجة و يبقى لدينا الرقم 1 و هو رقم عشرات .

5+4= 9 و نضيف إليها العدد 1 الذي حملناه من عملية الجمع السابقة فيصبح لدينا 9+1 =10

لاحظ هنا أن نتيجة الجمع أكبر من العدد 9 لذلك نعتبر أن العدد الأول أو الآحاد وهو هنا العدد صفر هو العدد السادس في النتيجة و يبقى لدينا الرقم 1 و هو رقم عشرات .

الآن نضيف الرقم 1 الذي بقي معنا من عمليات الجمع السابقة إلى آخر عدد وهو العدد 4 و نثبته في النتيجة 4+1 = 5

و هكذا تصبح النتيجة كالاتي 11 × 456789= 5024679

لايتوهم أحد ان علينا أن نكرر كل تلك الخطوات السابقة فقد تعمدت تفصيلها و تبسيطها إلى أقصى درجة حتى تصبح مفهومة و إلا فإن هذه العملية بعد أن نفهما لن تستغرق أكثر من بضعة ثواني .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

متى يكون رقم ما قابلاً للقسمة على العددين 3 و 9 ؟

إذا كان مجموع الأعداد في ذلك الرقم قابلاً للقسمة على العددين 3 أو 9 فإن ذلك الرقم يكون قابلاً للقسمة على هذين العددين .

مثال توضيحي :

هل الرقم 296357يقبل القسمة على العدد3 و العدد 9 ؟

لنجمع الأعداد المكونة لهذا الرقم 7+5+3+6+9+2 =  32 و هذا الرقم لا يقبل القسمة على العددين 3 و 9 و هذا يعني أن الرقم 296357 لا يقبل القسمة على العددين 3 و 9 .

هل الرقم 457875 يقبل القسمة على العدد3 و العدد 9 ؟

لنجمع الأعداد المكونة لهذا الرقم 5+7+8+7+5+4 = 36 و هذا الرقم يقبل القسمة على العددين 3 و 9 و هذا يعني أن الرقم 457875يقبل القسمة على العددين 3 و 9 .

هل الرقم 27987 يقبل القسمة على العدد3 و العدد 9 ؟

لنجمع الأعداد المكونة لهذا الرقم 2 + 7 + 9 + 8 + 7 = 33 و هذا الرقم يقبل القسمة على 3 لكنه لا يقبل القسمة على 9 و هذا يعني أن الرقم 27987 يقبل القسمة على العدد 3 لكنه لا يقبل القسمة على العدد 9 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

كما تعلمون فإن كل رقم ينتهي بعدد زوجي 2-4-6-8 فإنه يقبل القسمة على العدد 2 كما أن كل رقم ينتهي بالعدد 5 أو الصفر فإنه يقبل القسمة على العدد 5

و إذا كان مجموع آخر عددين من رقم ما قابلاً للقسمة على العدد 4 فهذا يعني أن ذلك الرقم قابل للقسمة على 4 .

مثال : هل الرقم 98987698944 قابل للقسمة على 4 ؟

آخر عددين هما 4 و 4   4+4=8 و العدد 8 يقبل القسمة على 4 و هذا يعني أن الرقم

98987698944 قابل للقسمة على 4 أي يمكن قسمته دون أن تحوي النتيجة على كسور .

98987698944 ÷4 = 24746924736

و إذا كان مجموع آخر 3 أعداد من رقم ما قابلاً للقسمة على 8 فهذا يعني أن ذلك الرقم قابل للقسمة على 8 .

مثال : هل الرقم 99999888 قابل للقسمة على 8 ؟

آخر  3 أعداد هما 8 و 8و8    8 +8+8=24 و 24 تقبل القسمة على 8 و هذا يعني أن الرقم

99999888 قابل للقسمة على 8 أي يمكن قسمته دون أن تحوي النتيجة على كسور .

99999888 ÷ 8 = 12499986

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

قابلية القسمة على 7

كيف نعرف فيما إذا كان رقم ما قابلاً للقسمة على 7 ؟

نقوم بحذف آخر عدد ثم نطرحه مرتين من الرقم المتبقي فإذا كان العدد المتبقي قابلاً للقسمة على 7 فهذا يعني أن هذا الرقم قابل للقسمة على 7 .

مثال توضيحي :

هل الرقم  876547 قابل للقسمة على 7 ؟

نحذف آخر عدد و هو هنا العدد 7 فيتبقى لدينا 87654

نطرح العدد الآخير الذي قمنا بحذفه ( أي العدد 7 ) مرتين من الرقم المتبقي و لكي نطرحه مرتين فإننا نضربه بالعدد 2 و نطرح الناتج من الرقم المتبقي .

7 ×2 = 14

87654 -14 = 87640

هل الرقم 87640 قابل للقسمة على 7 ؟

مازلنا غير متأكدين من ذلك فالرقم 87640 ما زال رقماً كبيراً لذلك فإننا نكرر خطوات العملية السابقة بحذافيرها

نحذف آخر عدد و هو هنا الصفر فيتبقى لدينا 8764

نطرح العدد الآخير الذي قمنا بحذفه ( أي العدد صفر ) مرتين من الرقم المتبقي و لكي نطرحه مرتين فإننا نضربه بالعدد 2 و نطرح الناتج من الرقم المتبقي .

0 ×2 = 0

8764 -0 = 8764  نكرر العملية السابقة

نحذف آخر عدد و هو هنا4 فيتبقى لدينا 876

نطرح العدد الآخير الذي قمنا بحذفه ( أي العدد4 ) مرتين من الرقم المتبقي و لكي نطرحه مرتين فإننا نضربه بالعدد 2 و نطرح الناتج من الرقم المتبقي .

2 ×4 = 8

876 – 8 = 868

نكرر العملية السابقة

نحذف آخر عدد و هو هنا8 فيتبقى لدينا 86

نطرح العدد الآخير الذي قمنا بحذفه ( أي العدد8 ) مرتين من الرقم المتبقي و لكي نطرحه مرتين فإننا نضربه بالعدد 2 و نطرح الناتج من الرقم المتبقي .

8 ×2 = 16

86 – 16 = 70

هل الرقم 70 يقبل القسمة على 7 ؟ بالطبع لأن 70 ÷7 = 10

إذاً فالرقم 87654 قابل للقسمة على 7

87654 ÷7 = 12522

هل كل شيء واضح ؟

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

التفسير الرياضي للعملية السابقة :

تقوم هذه الطريقة على إقتطاع أجزاء من الرقم الذي نريد معرفة فيما إذا كان يقبل القسمة على العدد 7 مع الحرص على أن يكون الجزء المقتطع قابلاً للقسمة على العدد 7 أما الجزء المتبقي فقد يكون قابلاً للقسمة على 7 و قد لا يكون كذلك .

  • إذا كان العدد الأيمن أو عدد الآحاد من الرقم الذي نريد معرفة ما إذا كان قابلاً للقسمة على العدد 7 هو العدد 1 فإننا نحذف ذلك العدد و هذا يعني أن الرقم ككل نقص منه العدد 1 , ثم إننا نضاعف العدد واحد 1×2 = 2 و ننقصه من الرقم المتبقي بعد أن حذفنا العدد واحد , لكن علينا أن ننتبه جيداً هنا إلى أننا حذفنا الآحاد و بقيت خانة العشرات لذلك فإننا عندما أنقصنا العدد 2 فنحن في الحقيقة طرحنا 20 من ذلك الرقم و ليس 2 كما يبدو لنا و تذكرون أننا حذفنا الرقم 1 سابقاً فهذا يعني أننا طرحنا 1 +20 = 21 من الرقم ككل و كما تعلمون فإن 21 قابلة للقسمة على العدد 7 لأن 7 ×3 = 21 و هذا يعني أننا طرحنا رقماً قابلاً للقسمة على 7 و بقي لدينا رقم آخر لا نعرف فيما إذا كان قابلاً للقسمة على 7 أو أنه ليس كذلك .

إذا كان العدد الأيمن أو عدد الآحاد من الرقم الذي نريد معرفة ما إذا كان قابلاً للقسمة على العدد 7 هو العدد 2 فإننا نحذف ذلك العدد و هذا يعني أن الرقم ككل نقص منه العدد 2 , ثم إننا نضاعف العدد 2×2 = 4 و ننقصه من الرقم المتبقي بعد أن حذفنا العدد 2 , لكن علينا أن ننتبه جيداً هنا إلى أننا حذفنا الآحاد و بقيت خانة العشرات لذلك فإننا عندما أنقصنا العدد 4 فنحن في الحقيقة طرحنا 40 من ذلك الرقم و ليس 4 كما يبدو لنا و تذكرون أننا حذفنا الرقم 2 سابقاً فهذا يعني أننا طرحنا 2 +40 = 42 من الرقم ككل و كما تعلمون فإن 42 قابلة للقسمة على العدد 7 لأن 6 ×7 = 42 و هذا يعني أننا طرحنا رقماً قابلاً للقسمة على 7 و بقي لدينا رقم آخر لا نعرف فيما إذا كان قابلاً للقسمة على 7 أو أنه ليس كذلك .

60 + 3 = 63 = 9 × 7

إذا كان العدد الأيمن أو عدد الآحاد من الرقم الذي نريد معرفة ما إذا كان قابلاً للقسمة على العدد 7 هو العدد 3 فإننا نحذف ذلك العدد و هذا يعني أن الرقم ككل نقص منه العدد 3 , ثم إننا نضاعف العدد 2×3 = 6 و ننقصه من الرقم المتبقي بعد أن حذفنا العدد 3 , لكن علينا أن ننتبه جيداً هنا إلى أننا حذفنا الآحاد و بقيت خانة العشرات لذلك فإننا عندما أنقصنا العدد 6 فنحن في الحقيقة طرحنا 60 من ذلك الرقم و ليس 6 كما يبدو لنا و تذكرون أننا حذفنا الرقم 3 سابقاً فهذا يعني أننا طرحنا 3 +60 = 63 من الرقم ككل و كما تعلمون فإن 63 قابلة للقسمة على العدد 7 لأن 9 ×7 = 63 و هذا يعني أننا طرحنا رقماً قابلاً للقسمة على 7 و بقي لدينا رقم آخر لا نعرف فيما إذا كان قابلاً للقسمة على 7 أو أنه ليس كذلك .

و هذا الكلام ينطبق على الأرقام التي تبدأ بأي عدد كان .

و الآن هل هنالك أي التباس في هذه المسألة ؟

تعلم دائماً أن تسأل سؤالين هما كيف و لماذا و ألا تكتفي بالسؤال الأول .

لكن علينا أن ندرك في الوقت ذاته أن كثيراً من العمليات الرياضية هي بلا تفسير أو أننا لم نتمكن بعد من تفسيرها فنظرية فيرميت Fermat على سبيل المثال بقيت بلا تفسير علمي لمدة 350 عام إلى أن تمكن أندرو ويليز  Andrew Wiles من تفسيرها مؤخراً .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

قابلية القسمة على 13

كيف نعرف فيما إذا كان رقم ما قابلاً للقسمة على 13 ؟

نقوم بحذف آخر عدد ثم نطرحه 9 مرات من الرقم المتبقي فإذا كان العدد المتبقي قابلاً للقسمة على 13 فهذا يعني أن هذا الرقم قابل للقسمة على 13 .

هل الرقم  5616 قابل للقسمة على 13 ؟

نحذف آخر عدد و هو هنا العدد 6 فيتبقى لدينا 561

نطرح العدد الآخير الذي قمنا بحذفه ( أي العدد 6 ) 9مرات من الرقم المتبقي و لكي نطرحه 9مرات فإننا نضربه بالعدد 9 و نطرح الناتج من الرقم المتبقي .

6 ×9 = 54

561 − 54 = 507

بقي لدينا الرقم 507

نحذف آخر عدد و هو هنا العدد 7 فيتبقى لدينا 50

نطرح العدد الآخير الذي قمنا بحذفه ( أي العدد 7 ) 9مرات من الرقم المتبقي و لكي نطرحه 9مرات فإننا نضربه بالعدد 9 و نطرح الناتج من الرقم المتبقي .

7 ×9 = 63

63 – 50 = 13 و الرقم 13 قابل للقسمة على 13 و هذا يعني أن الرقم 5616 قابل للقسمة على 13 .

5616÷13  = 432

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

لاحظ هنا أننا في كل مرة نقتطع من الرقم جزءاً معيناً بحيث يكون قابلاً للقسمة على 13 ثم نختبر الجزء المتبقي فإذا كان قابلاً للقسمة على 13 فهذا يعني أن الرقم بـأكمله قابل للقسمة على 13 .

فإذا كان الآحاد في ذلك الرقم هو العدد 1 قمنا بحذفه ثم ضربناه بالعدد 9

1 ×9 = 9 ثم نقوم بطرح العدد 9 من الرقم المتبقي و علينا الانتباه هنا إلى أننا نحذف العدد 9 من عشرات ذلك الرقم أي أنها 90 و ليست 9 .  لماذا؟ لأننا حذفنا آحاد هذا الرقم و هو العدد 1 و بالتالي فإن العدد المتبقي هو في الحقيقة من العشرات و ليس من الآحاد و كذلك فإننا نضيف إلى الرقم 90 العدد 1 الذي حذفناه فيصبح مجمل ما قمنا بطرحه 1 + 90 = 91

لاحظ أن الرقم 90 هو من مضاعفات الرقم 13 لأن 7 ×13 = 90

وإذا كان الآحاد في ذلك الرقم هو العدد 2 قمنا بحذفه ثم ضربناه بالعدد 9

2 ×9 = 18 ثم نقوم بطرح العدد 18 من الرقم المتبقي و علينا الانتباه هنا إلى أننا نحذف العدد 18 من عشرات و مئات ذلك الرقم أي أنها 180 و ليست 18 .  لماذا؟ لأننا حذفنا آحاد هذا الرقم و هو العدد 1 و بالتالي فإن العدد المتبقي هو في الحقيقة من العشرات و ليس من الآحاد و كذلك فإننا نضيف إلى الرقم 180 العدد 2 الذي حذفناه فيصبح مجمل ما قمنا بطرحه 2 + 180 = 182

لاحظ أن الرقم 180 هو من مضاعفات الرقم 13 لأن 14 ×13 = 182

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

قابلية القسمة على 17

كيف نعرف فيما إذا كان رقم ما قابل للقسمة على 17 ؟

نقوم بحذف الآحاد ثم نطرحه 5 مرات من الرقم المتبقي فإذا كان العدد المتبقي قابلاً للقسمة على 17 فهذا يعني أن هذا الرقم قابل للقسمة على 17 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

قابلية القسمة على 19

كيف نعرف فيما إذا كان رقم ما قابل للقسمة على 19 ؟

نقوم بحذف الآحاد ثم نضاعفه و نضيفه   إلى الرقم المتبقي فإذا كان العدد المتبقي قابلاً للقسمة على 19 فهذا يعني أن هذا الرقم قابل للقسمة على 19 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

عمليات الضرب بالرقم 21       :

لكي نضرب أي رقم بالرقم 21 فإننا نضاعف ذلك الرقم مرتين ثم نضرب بعشرة و بعد ذلك نضيف الرقم الأصلي .

21 ×37 =

نضاعف الرقم 37 كالآتي 37 ×2 = 74

نضرب بعشرة 74 ×10 = 740

نضيف الرقم الأصلي أي 37

740 + 37 = 777

21 ×37 = 777

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

عمليات الضرب بالرقم 31       :

لكي نضرب أي رقم بالرقم 31 فإننا نضاعف ذلك الرقم 3 مرات ثم نضرب بعشرة و بعد ذلك نضيف الرقم الأصلي .

31 ×43 =

نضاعف الرقم 43 ثلاثة مرات 3 ×43 = 129

نضرب بعشرة 129 ×10 = 1290

نضيف الرقم الأصلي :

1290 + 43 = 1333

31 ×43 =1333

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

عمليات الضرب بالرقم 41       :

لكي نضرب أي رقم بالرقم 41 فإننا نضاعف ذلك الرقم 4 مرات ثم نضرب بعشرة و بعد ذلك نضيف الرقم الأصلي .

41 ×47 =

نضاعف الرقم   47    4أربع مرات

47 ×4 = 188

نضرب بعشرة

188 ×10 = 1880

نضيف الرقم الأصلي

1880 + 47 = 1927

41 ×47 = 1927

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

اختصار الكسور :

هنالك طريقة سريعة في اختزال الكسور تعتمد على حذف العدد إذا تكرر في كل من حدي الكسر وبعد ذلك نقوم بقسمة حدي الكسر على عدد واحد إذا قبل كل من حدي الكسر القسمة على ذلك العدد و إليكم هذه الأمثلة التوضيحية مع الشرح المفصل .

ملاحظة : لم تمكننا برمجيات الموقع من كتابة الكسر على شكل خط فوقه رقم و تحته رقم لذلك كتبناه على شكل رقمين تفصل بينهما إشارة /

16 / 46 =1 / 4   هنا قمنا باختزال الكسر ببساطة و ذلك بحذف الرقم المتكرر وهو هنا العدد 6 فبقي لدينا العددين 1 و 4 .

14714 / 71468 = 14 / 86 = 7 / 34  هنا قمنا باختزال الكسر و ذلك بحذف الأرقام التي تكررت في حدي الكسر  كالعدد 1 و العدد 4 و العدد 7 – لاحظ أننا لم نحذف العدد 4 الثاني لأنه لم يتكرر في المقام ثم قمنا بعد ذلك باختزال الكسر الناتج و ذلك بقسمة حديه على 2

24 ÷2 = 7

68 ÷2 = 34

42424 / 74242 =  4 / 7  لاحظ هنا أن لدينا العدد 4 تكرر 3 مرات في الأعلى لكنه تكرر مرتين في الأسفل لذلك فقد بقي عدد 4 واحد في الأعلى دون حذف .

لاحظ كذلك أننا لنم نحذف العدد 7 في الأسفل لأنه ليس هنالك 7 في الأعلى .

وبما أنه لايوجد عدد يقبل القسمة على كل من العددين 4 و 7 فإننا لم نتمكن من اختزال هذين العددين .

26 / 65 = 2 / 5 هنا قمنا باختزال الكسر ببساطة و ذلك بحذف العدد المتكرر في كل من البسط و المقام وهو هنا العدد 6 فبقي لدينا العددين 2 و 5 .

4175824 / 6428571 = 4 / 6 = 2 / 3 هنالك عددي 4 في الحد العلوي و عدد 4 واحد في الحد السفلي لذلك فإننا حذفنا 4 واحدة و ابقينا على الأخرى و في الحد العلوي لاوجود للعدد 6 لذلك فإننا لم نحذفها .

878084  /  987804  = 8/9   لماذا حذفنا الأعداد 7 و 8 و 0 و 4 ؟

19 / 95 = 1 / 5   هنا قمنا باختزال الكسر ببساطة و ذلك بحذف الرقم المتكرر في كل من البسط و المقام وهو هنا العدد 9 فبقي لدينا العددين 1 و 5 .

1428571  /  4285713 = 1/3   لماذا حذفنا الأعداد 4و 2 و 8 و 5 ؟

5952380 /  9523808  =  5 / 8  لماذا حذفنا الأعداد  9 و 2 و 3 و 0 ؟

26 / 63 = 2 / 3  هنا قمنا باختزال الكسر ببساطة و ذلك بحذف الرقم المتكرر في كل من البسط و المقام وهو هنا العدد 6 فبقي لدينا العددين 2 و 3 .

484848484  /  7848484 = 4 / 7  في الأعلى لدينا 4 ثمانيات و في الأسفل لدينا 4 ثمانيات لذلك حذفنا العدد 8 و في الأعلى لدينا 5 أربعات بينما في الأسفل لدينا 4 أربعات لذلك فقد أبقينا على عدد 4 واحد لأنه لا نظير له في الأسفل , وفي الأعلى لاوجود للعدد 7 لذلك فقد أبقينا على العدد 7 في الأسفل .

2587142 / 581426 = 2/6 = 1/3  في الأعلى لدينا العدد 2 قد تكرر مرتين أما في الأسفل فهنالك 2 واحدة لذلك فقد حذفنا واحدة و أبقينا على الثانية لأنه لا نظير لها في الأسفل , وفي الأسفل لدينا العدد 6 بينما لا نجد هذا العدد في الأعلى لذلك فإننا لم نحذفه لأنه لا نظير له في الحد الثاني .

49 / 98 = 4/8 = 1/2   هنا قمنا باختزال الكسر ببساطة و ذلك بحذف الرقم المتكرر في كل من البسط و المقام وهو هنا العدد 9 فبقي لدينا العددين 4 و 8  قمنا باختازلهما مرة أخرى إلى 1 و 2  .

4242424 / 7424242 = 4/7 في الأعلى لدينا العدد 4 قد تكرر 4 مرات أما في الأسفل فهنالك  3أربعات فقط لذلك فقد حذفنا 3 في الأعلى و أبقينا على 4واحدة لأنه لا نظير لها في الأسفل , وفي الأسفل لدينا العدد 7 بينما لا نجد هذا العدد في الأعلى لذلك فإننا لم نحذفه لأنه لا نظير له في الحد الثاني .

55 / 55 = 5/5 = 1لا يمكن أن نختذل الكسر بحذف جميع أعداده لذلك فقد حذفنا 5 من كل حد و أبقينا على العدد 5 الثاني ثم قسمنا 5 على 5 فكانت النتيجة 1 .

3461535 / 4615348 = 3/4  في الأعلى لدينا العدد 3 قد تكرر مرتين أما في الأسفل فهنالك  3واحدة فقط لذلك فقد حذفنا 3 في الأعلى و أبقينا على 3واحدة لأنه لا نظير لها في الأسفل , وفي الأسفل لدينا العدد 4 مكرر مرتين  بينما لا نجد في الأعلى سوى 4 واحدة فقط لذلك فإننا حذفنا 4 واحدة و أبقينا على واحدة لأنه لا نظير لها في الحد الثاني .

6923076 / 9230768 = 6/8 = 3/4  في الأعلى لدينا العدد 6 قد تكررت مرتين أما في الأسفل فهنالك  6واحدة فقط لذلك فقد حذفنا 6 في الأعلى و أبقينا على 6واحدة لأنه لا نظير لها في الأسفل , وفي الأسفل 8 واحدة  بينما لا نجد في الأعلى هذا العدد لذلك فقد أبقينا عليه لأنه لا نظير له في الحد الثاني .

499 / 998 =4/8 = 1/2 هنا قمنا باختزال الكسر ببساطة و ذلك بحذف الرقم المتكرر في كل من البسط و المقام وهو هنا العدد 9 فبقي لدينا العددين 4 و 8  قمنا باختازلهما مرة أخرى إلى 1 و 2  .

54545445 / 6545454 = 5/6 في الأعلى لدينا العدد 5 قد تكرر 4 مرات أما في الأسفل فهنالك  3خمسات فقط لذلك فقد حذفنا 3 خمسات في الأعلى و أبقينا على خمسة واحدة لأنه لا نظير لها في الأسفل , وفي الأسفل لدينا العدد 6 بينما لا نجد هذا العدد في الأعلى لذلك فإننا لم نحذفه لأنه لا نظير له في الحد الثاني .

332 / 830 = 32 / 80 = 2/5قمنا باختزال هذا الكسر بحذف العدد الذي تكرر في كل من البسط و المقام و هو هنا العدد 3 ثم قسمنا العددين الناتجين على العدد 16 فكانت النتيجة 2/5

3116883 / 8311688 = 3/8    في الأعلى لدينا العدد 3 قد تكرر  مرتين أما في الأسفل فهنالك  3واحدة فقط لذلك فقد حذفنا 3 واحدة فقط في الأعلى و أبقينا على 3واحدة لأنه لا نظير لها في الأسفل , وفي الأسفل لدينا العدد 8 قد تكرر 3مرات أما في الأعلى فليس هنالك إلا ثمانيتين لذلك فقد حذفنا ثمانيتين و أبقينا على واحدة في الأسفل لأنه لا نظير لها في الأعلى .

767123287 / 876712328 = 7/8  لماذا حذفنا الأعداد  7و6 و 2و 3 و 8 ؟

385  / 880 = 35 / 80 = 7/16 قمنا باختزال هذا الكسر بحذف العدد 8 الذي تكرر في البسط و المقام و قد أبقينا على العدد 8 في الأسفل لأنه لا مقابل له في الأعلى .

2051282  /  8205128 = 2/8 = 1/4

2343243243 / 4324324324  = 3/4

138 / 345 = 8/45 = 2/5  اختزلنا هذا الكسر بحذف العدد 3 الذي تكرر في البسط و المقام .

5384615 / 7538461 = 5/7

54545 / 65454 = 5/6

275/770  = 25/70 = 5/14 اختزلنا هذا الكسر بحذف العدد 7 الذي تكرر في البسط و المقام .

84848484 / 848484847 = 4/7

1025641 / 4102564 = 1/4

163 / 326 = 1/2 اخنزلنا هذا الكسر بحذف العددين 3 و 6 لأنهما تكررا في كل من البسط و المقام .

484 / 847 = 4/7

3243243 / 4324324 = 3/4

6486 / 8648  = 6/8 = 3/4

545 / 654 = 5/6

6486486 / 8644648 = 6/8 = 3/4

4571428 / 5714285 = 4/5

424 / 742 = 4/7

249 / 996 = 24 / 96 = 1/4

48484 / 84847 = 4/7

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

النسبة و التناسب :

السعر الاعتيادي لجهاز التلفزيون من ماركة معينة هو 100 دولار لكن المعرض A كان يبيع أجهزة التلفزيون أرخص ب 10% من بقية المعارض طيلة العام و خلال الأعياد أعلن ذلك المعرض عن تخفيضات جديدة بلغت 20%  على السعر المخفض , ثم أعلن معرض آخرB عن تخفيضات قدرها 30% على الأسعار  .

بدايةً قد يبدو لنا أن كلا العرضين متماثلين فالمعرض الأول أعلن عن تخفيضات قدرها 10% ثم أعلن عن تخفيضات جديدة قدرها 20% على السعر الذي كان يباع  مخفضاً  بمقدار10% .

10 +20 = 30

أما المعرض B  فقد أعلن عن تخفيضات قدرها 30% , لكننا لو تمعنا في الأمر لأدركنا أن المعرض الأول يقدم حسومات قدرها 10% على المبلغ الأصلي فيصبح سعر الجهاز 90 دولار ثم يعلن عن تخفيضات قدرها 20% من السعر المحسوم أي من مبلغ التسعين دولاراً و ليس من السعر قبل الحسم اي من المئة دولار أي أن المعرض الأول حسم 10 دولارات ثم حسم 18 دولار بعد ذلك أي أنه يبيع الجهاز بسعر 72 دولار , أما المعرض الثاني فإنه يعرض تخفيضات قدرها 30% من السعر الأصلي أي من المئة دولار و بالتالي فإنه يبيع الجهاز بسعر 70 دولار أي ارخص بدولارين من المعرض الأول .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

شرح مبسط :

سعر الجهاز 100 دولار

المعرض الأول كان يبيع الجهاز أرخص ب 10 % أي أنه كان يبيعه بسعر 90 دولار ثم أعلن عن تخفيض جديد قدره 20 % على التسعين دولار و ليس على المئة دولار فأصبح سعر الجهاز 72 دولار لأن نسبة العشرين بالمئة اقتطعت من التسعين دولار .

المعرض الثاني أعلن عن تخفيضات قدرها 30%  على سعر الجهاز أي على المئة دولار فأصبح سعر الجهاز 70 دولار .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

كيفية التعامل مع هذا النوع من المسائل ؟

نحول التخفيضات إلى أرقام عشرية .

لدينا التخفيض الأول 10% يصبح  10, 0

و التخفيض الثاني  20% يصبح  20, 0

نطرح هذه الأرقام العشرية من الرقم مئة :

100 –  10 ,0  =  90 ,0

100 – 20 ,0 = 80 ,0

نضرب نواتج الطرح من مئة مع بعضها البعض 80 , 0× 90 , = 72, 0

نطرح ناتج الطرح من الرقم 1,00

1,00 – 0,72 = 0.28

الرقم 0,28 يمثل حجم التخفيضات الحقيقية أي 28%

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

تمهيد عن محيط الدائرة :

محيط الدائرة = قطر الدائرة ×3,14

بمعنى أن محيط أي دائرة يعادل 3 أمثال طول قطرها تقريباً .

و يرمز للرقم الثابت 3,14 الذي يمثل النسبة بين محيط الدائرة و قطرها بالرمز بي π و يعتقد بأن أول ذكر للنسبة الثابتة بين محيط أي دائرة و قطرها قد ورد في التوراة في سفر الملوك

Kings 7:23 و سفر التقاويم  Chronicles 4:2  حيث ورد أن محيط النبع الدائري الموجودة في قصر النبي سليمان يبلغ 30 ذراعاً أما قطر ذلك النبع فيبلغ 10 أذرع و بالتالي فإن 30 ÷ 10 = 3 وهي تقريباً النسبة بين قطر أي دائرة و بين محيطها .

قطر الدائرة : هو الخط الوهمي الذي يمر من مركزها و يشطرها إلى قسمين متساويين .

محيط الدائرة : هو خط دائري مغلق جميع نقاطه متساوية البعد عن المركز .

π رقم ثابت يستخدم في حساب محيط و مساحة الدائرة    .

حدد أرخميدس( وفقاً لموسوعة الويكيبيديا )  قيمة π بأنها النسبة بين محيط الدائرة و قطرها و هي    3.14   وهي نسبة ثابتة تستخدم في حساب محيط و مساحة الدائرة .

مسألة :

دائرتين مشتركتين في المركز و الدائرة الأولى تقع داخل الدائرة الثانية و يبعد محيط الدائرة الكبرى عن محيط الدائرة الصغرى 10 وحدات فماهو الفرق بين محيطي هاتين الدائرتين؟

الحل التقليدي :

يقوم الحل التقليدي لهذه المسألة على إيجاد قطر كلتا الدائرتين ومن ثم حساب محيط كلتا هاتين الدائرتين و بعد ذلك حساب الفرق بين محيطيهما كالآتي:

نفترض أن d  يمثل قطر الدائرة الصغرى فإن قطر الدائرة الكبرى يعادل d+20

لماذا؟ لأن البعد بين محيط الدائرة الكبرى و بين محيط الدائرة الصغرى الموجودة داخلها هو 10 وحدات و كما نعلم فإن قطر الدائرة الدائرة الكبرى يساوي قطر الدائرة الصغرى الموجودة داخلها + البعد بين محيط الدائرة الصغرى و محيط الدائرة الكبرى ×2

أي 10 ×2= 20

و بالتالي فإن محيط الدائرة الصغرى يساوي d   π   أي d× π

أي d ×  3.14

أما محيط الدائرة الكبرى فإنه يساوي    π (d+20)

أي π ×d +20

حيث أن الرقم 20 يمثل مقدار زيادة قطر الدائرة الكبرى على الدائرة الصغرى و بالتالي فإن الاختلاف بين محيطي هاتين الدائرتين هو

π (d+20) – d    π  = 20 π

أي محيط الدائرة الكبرى الذي هو عبارة عن قطر الدائرة الصغرى d + مقدار زيادته عن قطر الدائرة الصغرى أي 20  ×  π ناقص  محيط الدائرة الصغرى = مقدار الاختلاف بين محيطي هاتين الدائرتين أي 20× π

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

الطريقة الذكية في حل هذه المسألة :

بما أن المسألة لم تحدد لنا قياس أي من الدائرتين فبإمكاننا أن نتخيل أن الدائرة الصغرى الموجودة داخل الدائرة الكبرى متناهية الصغر بل إنها مجرد نقطة متطابقة مع مركز الدائرة الكبرى بل لنقل أن الدائرة الصغرى هي مركز الدائرة الكبرى.

و بالتالي فإن البعد بين محيطها و بين محيط الدائرة الكبرى هو بكل بساطة قطر الدائرة الكبرى , لماذا؟ لأن الدائرة الصغرى هي مركز الدائرة الكبرى و قطر الدائرة هو البعد بين المركز و المحيط و بالتالي فإن الاختلاف بين محيطها و بين محيط الدائرة الكبرى من حيث الامتداد هو محيط الدائرة الكبرى لأن الدائرة الصغرى مجرد نقطة قياسها صفر .

لقد حددت لنا المسألة البعد بين قطر الدائرة الكبرى و قطر الدائرة الصغرى بأنه 20 وحدة

( ربما 20 ميلي و ربما 20 سنتيمتر و ربما 20 متر أو 20 كيلو متر لا فرق ) و بالتالي فإن قطر الدائرة الكبرى هو قطر الدائرة الصغرى مضافاً إلى عشرين وحدة قياس أياً تكن و بالتالي فإن محيط الدائرة الكبرى يساوي قطر الدائرة الصغرى +20 وحدة قياس مضروباً بالرقم الثابت    π    لأن قطر الدائرة الصغرى يساوي الصفر لأنه مجرد نقطة .

و بالتالي فإن مجمل طوله أي 20 π   و هو الاختلاف بينه و بين محيط الدائرة الصغرى لأنه لا محيط لها و هكذا تلاحظون أننا وصلنا إلى حل المسألة ووصلنا إلى النتيجة نفسها لكن بمجهود أقل بكثير.

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

كيف قاس إيراتوسثينيس   Eratosthenes  محيط الكرة الأرضية باستخدام وتدين ؟

لقد إكتشف إيراتوسيثينيس قبل الميلاد بأكثر من 200 عام بأن أشعة الشمس تكون عمودية في مدينة أسوان المصرية في يوم معين من أيام السنة و أن أشعة الشمس في ذلك اليوم تتمكن من الوصول إلى قاع الآبار وهذا يعني أن أشعة الشمس تكون متعامدة مع الأرض في ذلك اليوم من السنة و عندما غرس إيراتوسيثينيس وتداً بشكل عمودي في ذلك اليوم لم يكن لذلك الوتد أي ظل لأن أشعة الشمس كانت موازية لذلك الوتد  و في اليوم ذاته من سنة أخرى عند الظهيرة غرس إيراتوسيثينيس وتداً بشكل عمودي تماماً في مدينة الاسكندرية فلاحظ أن هنالك ظل لهذا الوتد و عندما قاس درجة ميلان ذلك الظل وجده يساوي 7,12 درجة أي 1/50  من 360 درجة

و بما أن أسوان و الإسكندرية يقعان على خط الطول ذاته تقريباً و بما أن أشعة الشمس تسقط بشكل متوازي و مستقيم على الأرض فهذا يعني أن أسوان تقع على قطر الدائرة حيث تسقط أشعة الشمس بشكل عمودي و بما أن درجة الميل بين الإسكندرية و سيناء هي 7,12 درجة أي 1/50  من 360 درجة و بما أن الدائرة الكاملة تساوي 360 درجة فهذا يعني أن المسافة بين أسوان و الإسكندرية تساوي جزء من خمسين جزء من محيط الكرة الأرضية و بما أن المسافة بين أسوان و الإسكندرية تساوي 5,000  ستاديا ( أي 5000 ملعب مصري أو ملعب يوناني من حيث الطول ) فهذا يعني أن محيط الكرة الأرضية يساوي  250,000 ستاديا أي  24,660

ميل و الاختلاف بين هذا الرقم و بين الرقم الحديث لمحيط الأرض هو 2% فقط فالرقم الحديث هو 24,900 .

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

تم الجزء الثاني بعونه تعالى

ترجمة عمار شرقية

إذا كان لديكم أي استفسار أو تعليق أو تنبيه على خطأ يمكنكم إضافة تعليق في صفحة أضف تعليق أو أرسل استفسار .

 

Advertisements